Скалярное произведение в унитарном пространстве.

[pandemodeus]

Добрый день.
Есть задача: $x_1, x_2, y_1, y_2$ - координаты векторов x и y в некотором базисе двумерного комплексного линейного пространства V. Определить, можно ли скалярное произведение в V определить формулой:

$$(x,y)=\begin{bmatrix} $x_1$& $x_2$ \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0& 3+i \\ 3-i& 0 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} $\overline{y_1}$ \\ $\overline{y_2}$ \end{bmatrix}$$

Вопрос в том, что мне, по всей видимости, не понятно, что значит сопряжение от координаты, и поэтому возникли трудности с оценкой скалярного квадрата.
Я пришел к следующему:

$$(x,x)=(3-i)\overline{x_1}x_2+(3+i)x_1\overline{x_2}$$

Не могу прийти к тому, что это равенство больше нуля для любых ненулевых x.
Помогите, пожалуйста разобраться.

[nnosipov]

pandemodeus в сообщении #1415653 писал(а):

Не могу прийти к тому, что это равенство больше нуля для любых ненулевых x.

Видимо, имеется в виду правая часть равенства. Но в данном случае она может быть как положительна, так и отрицательна (убедитесь в этом, рассмотрев какие-нибудь конкретные $x_1$, $x_2$). Так что увы, указанная формула не задает (эрмитова) скалярного произведения на двумерном комплексном пространстве.

[pandemodeus]

nnosipov в сообщении #1415664 писал(а):

pandemodeus в сообщении #1415653 писал(а):

Не могу прийти к тому, что это равенство больше нуля для любых ненулевых x.

Видимо, имеется в виду правая часть равенства. Но в данном случае она может быть как положительна, так и отрицательна (убедитесь в этом, рассмотрев какие-нибудь конкретные $x_1$, $x_2$). Так что увы, указанная формула не задает (эрмитова) скалярного произведения на двумерном комплексном пространстве.

Да я проверял, конечно же. В ответе учебника сказано, что такая формула задает скалярное произведение. А я сижу и пытаюсь понять, что я упускаю.

[nnosipov]

pandemodeus в сообщении #1415665 писал(а):

В ответе учебника сказано, что такая формула задает скалярное произведение.

А как тогда в учебнике определяется скалярное произведение? Хотя какие здесь могут быть разночтения. Скорее, опечатка в ответе.

[pandemodeus]

nnosipov в сообщении #1415666 писал(а):

pandemodeus в сообщении #1415665 писал(а):

В ответе учебника сказано, что такая формула задает скалярное произведение.

А как тогда в учебнике определяется скалярное произведение?

Аксиоматически. 4 аксиомы: на коммутативность, линейность по первому множителю и скалярный квадрат.

[nnosipov]

pandemodeus в сообщении #1415668 писал(а):

Аксиоматически. 4 аксиомы: на коммутативность, линейность по первому множителю и скалярный квадрат.

Ну да, это и есть эрмитово скалярное произведение. Под коммутативностью следует понимать, конечно, равенство $(y,x)=\overline{(x,y)}$.

[pandemodeus]

nnosipov в сообщении #1415669 писал(а):

pandemodeus в сообщении #1415668 писал(а):

Аксиоматически. 4 аксиомы: на коммутативность, линейность по первому множителю и скалярный квадрат.

Ну да, это и есть эрмитово скалярное произведение. Под коммутативностью следует понимать, конечно, равенство $(y,x)=\overline{(x,y)}$.

Да, верно. Просто я прорешал еще несколько примеров, и ответы у меня также не сошлись. Это наталкивает на мысль, что я делаю что-то не так)
Например, по версии учебника, такое соотношение также задает скалярное произведение

$$(x,y)=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5&i \\ -i & 1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \overline{y_1} \\ \overline{y_2} \\ \end{bmatrix}$$

[nnosipov]

Попробуйте проверить свои ответы с помощью системы компьютерной алгебры (какой-нибудь). Они не ошибаются.

[pandemodeus]

nnosipov в сообщении #1415673 писал(а):

Попробуйте проверить свои ответы с помощью системы компьютерной алгебры (какой-нибудь). Они не ошибаются.

А можете пример привести? Ни разу такими не пользовался

[nnosipov]

Maple, Wolfram Alpha, etc. Подробнее можно посмотреть в википедии.

[pandemodeus]

nnosipov в сообщении #1415677 писал(а):

Maple, Wolfram Alpha, etc. Подробнее можно посмотреть в википедии.

Все, понял, о чем вы. Спасибо, посмотрю

[vpb]

Приведите ссылку на учебник. Автор, название, номер задачи, и в каком месте учебника определение что такое скалярное произведение. А то непонятно, или в учебнике опечатка, или Вы условие не так поняли. И зачем тут системы компьютерной алгебры ? Оне, конечно, не врут, знамо дело, но не в этом же смысл ситуации. (А смысл в том, включено ли в учебнике в определение скалярного произведения требование положительной определенности, или как).

[pandemodeus]

vpb в сообщении #1415680 писал(а):

Приведите ссылку на учебник. Автор, название, номер задачи, и в каком месте учебника определение что такое скалярное произведение. А то непонятно, или в учебнике опечатка, или Вы условие не так поняли. И зачем тут системы компьютерной алгебры ? Оне, конечно, не врут, знамо дело, но не в этом же смысл ситуации. (А смысл в том, включено ли в учебнике в определение скалярного произведения требование положительной определенности, или как).

Учебник: Г.Д. Ким, В.А. Ильин - Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Скалярное произведение определено на стр.203 в начале параграфа 68.
Задачник: Г.Д. Ким, Л.В. Крицков - Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том 2. Часть 1. Задача # 47.8, примемы д) и з)

[vpb]

Посмотрел книжки. Действительно, требуется положительная определенность скалярного произведения (как обычно, впрочем). Стало быть, в книжке в этом месте опечатка. Привыкайте, дело обычное. Со вторым же примером непонятно. По моему, там положительная определенность все-таки имеет место. Или Вы можете привести пример, когда $(x,x)\leq0$, $x\ne0$ ?

[nnosipov]

vpb в сообщении #1415680 писал(а):

но не в этом же смысл ситуации

Ответ может не сойтись и потому, что в (по существу правильном) решении могут быть арифметические ошибки. В этом случае CAS идеальный арбитр.

-- Ср сен 18, 2019 22:14:44 --

vpb в сообщении #1415719 писал(а):

По моему, там положительная определенность все-таки имеет место.

Имеет. Видно, например, по критерию Сильвестра.