Задача по решеточной теплопроводности алмаза

[Ivan.]

Доброго времени суток! Укажите, пожалуйста, на ошибку в моем решение задачи. Уже два дня не могу понять что делаю не так.

Искусственный алмаз, выращенный из изотопически чистого углерода $ C_{12} $, обладает при комнатной температуре теплопроводностью $\chi$ $= 25$ Вт/(см·К). Теплопроводность же алмаза, выращенного из естественной смеси изотопов (с 1%-ым содержанием изотопа $ C_{13} $), на 1% меньше. Оценить длину свободного пробега фононов, обусловленную рассеянием на дефектах, роль которых играют атомы $ C_{13} $. Температура Дебая алмаза $\Theta$= 2250 К, скорость звука $S = 17,5$ км/с, ребро элементарного куба решетки алмаза, содержащего 8 атомов, равно $a =3,57$ Å.

Моё решение:

Для длины свободного пробега в "дефектном" алмазе $\lambda_{dia}$ получим:

$\frac{1}{\lambda_{dia}}$ $= \frac{1}{\lambda_{C_{12}}}$ $+\frac{1}{\lambda_{C_{13}}} $

$\chi_{dia}$$ =0,99\cdot\chi$ $ =\frac{1}{3}C\cdot\lambda_{dia}$ $\cdot S$

$\chi$ $=\frac{1}{3} \cdot C\cdot\lambda_{C_{12}}$ $\cdot S$

Фононная теплоемкость для случая $T<<\Theta$

$C=\frac{12}{5}\cdot\pi^{4}\cdot n\cdot k_{b} \cdot (\frac{T}{\Theta})^{3}$

После выражения требуемой длины свободного пробега получаю

$ \lambda_{C_{13}} = 297 \cdot \cfrac{\chi \cdot 5 \cdot a^3}{S\cdot 12 \cdot k_{b} \cdot\pi^{4} \cdot 8}\cdot (\frac{\Theta}{T})^3 $

В ответе стоит

$ \lambda_{C_{13}} = \cdot \cfrac{\chi \cdot 15 \cdot a^3}{S\cdot 48 \cdot k_{b} \cdot\pi^{4} \cdot}\cdot (\frac{\Theta}{T})^3 $

Я не могу ни ответ получить, ни понять его: как при изменении теплопроводности всего на 1 % у нас может получаться длина свободного пробега, обусловленная атомами $C_{13}$, сравнимая с длиной свободного пробега на чистом $C_{12}$ (если её посчитать она в 2 раза всего меньше будет).

[Munin]

Простите, а что такое у вас $\lambda_{C_{12}}$ и $\lambda_{C_{13}}$?

[Ivan.]

$\lambda_C_{12}$ - Длина свободного пробега фононов в изотопически чистом алмазе (только атомы $C_{12}$)

$\lambda_C_{13}$ - Длина свободного пробега фононов, обусловленная рассеянием на атомах $C_{13}$ в алмазе природного происхождения

$\lambda_C_{dia}$ - Длина свободного пробега фононов в алмазе природного происхождения, с учетом всех типов рассеяния