Перестановочные стекла и размерность энергии

[e7e5]

Мне встретилась статья о "Permutation glass"
https://arxiv.org/pdf/1801.03231.pdf
Во-первых, прошу помощи в переводе термина "permutation glass" - как правильно перевести на русский?
И что это такая за система с физической точки зрения, как такие системы реализуются?

Во-вторых, на стр. 6, рис.3 не могу понять единицы измерения энергии.
Если это эВ, то температура для такой системы очень большая.
Мог бы кто-то из форумчан пояснить?

[arseniiv]

Да вроде в произвольных. Всяческие лямбды имеют ту же размерность, притом не обязательно безразмерны, потому что в заведомо безразмерных контекстах умножаются на беты или делятся на сигмы. Не вчитывался дальше, самое простое объяснение — их нормировали так, чтобы графики пересекались в нуле.

[e7e5]

Спасибо!

arseniiv в сообщении #1413480 писал(а):

Не вчитывался дальше

А что же это за объект "permutation glass"?

[arseniiv]

Тут я лучше ничего предполагать не буду, пусть физики говорят.

[Gickle]

e7e5 в сообщении #1413646 писал(а):

А что же это за объект "permutation glass"?

Так в статье же объясняется вполне понятным языком. Это система, описываемая гамильтонианом (1). Вообще говоря, лично я до этого с этим термином не сталкивался (впрочем, классической статистической физикой я особо не занимаюсь), гугл тоже молчит. Видимо, термин введён в этой статье впервые, хотя такие системы, допускаю, вполне могли и до этого люди рассматривать, просто называли по-другому. Предложенный перевод на русский, как по мне, вполне вменяемый.

e7e5 в сообщении #1413458 писал(а):

И что это такая за система с физической точки зрения, как такие системы реализуются?

В конце написано, что

Цитата:

Motivated by the importance of the orderings of amino acid sequences in the structure and function of proteins, a model was previously proposed to study the equilibrium thermodynamics of a system where particular permutations of an ordered list defined various energy states of the system.

Так что ноги где-то из статистической физики макромолекул растут, видимо. Но это надо внимательно читать статью и ссылки на источники. Предполагаю, что модель игрушечная, используется для изучения какого-то характерного фазового перехода.

[e7e5]

Gickle в сообщении #1413682 писал(а):

e7e5 в сообщении #1413646 писал(а):

А что же это за объект "permutation glass"?

Так в статье же объясняется вполне понятным языком. Это система, описываемая гамильтонианом (1).

А еще в статье приводится рисунок 2 с графами перестановок для четырех микросостояний:
"The permutation graph depiction of four microstates in a
permutation system with N = 15" - что это значит?
Означает ли это, что система с гамильтонианом (1) может быть описана так сказать графически через графы перестановок?
Помогите пожалуйста разобраться. Спасибо

[Gickle]

e7e5 в сообщении #1414764 писал(а):

"The permutation graph depiction of four microstates in a
permutation system with N = 15" - что это значит?

То и значит. Микросостояния рассматриваемой системы имеют вид $(\theta_1,\theta_2,\ldots,\theta_N) \in \mathrm{perm}(\omega_1,\omega_2,\ldots,\omega_N),$ причём основное состояние есть $(\omega_1,\omega_2,\ldots,\omega_N)$. Соответственно возбуждённым состояниям отвечают те, где некоторые $\theta_i \neq \omega_i$. Можно ввести графическое обозначение. Пусть, скажем, $N=3$, тогда вершинами будут $\theta_1, \theta_2$ и $\theta_3$ и $\omega_1,\omega_2$ и $\omega_3$. Рёбра же отвечают соотношениям $\theta_i = \omega_j$. Удобно графически разделять случаи, когда $\theta_i$ стоит на своём месте и когда не на своём. Тогда пусть если $i = j$, то линия голубая, а если $i \neq j$, то оранжевая. Вот и весь рецепт графического представления микросостояний системы.

e7e5 в сообщении #1414764 писал(а):

Означает ли это, что система с гамильтонианом (1) может быть описана так сказать графически через графы перестановок?

Что вы вкладываете в эту фразу?

e7e5 в сообщении #1414764 писал(а):

Помогите пожалуйста разобраться. Спасибо

Повторюсь, что я статью целиком не читал и, честно сказать, не планирую. Но написана она, на первый взгляд, весьма сносно, так что если есть желание разобраться, лучше, мне кажется, попытаться её целиком прочитать и проделать все необходимые выкладки самому.

[e7e5]

Gickle в сообщении #1415014 писал(а):

Соответственно возбуждённым состояниям отвечают те, где некоторые $\theta_i \neq \omega_i$. Можно ввести графическое обозначение. Пусть, скажем, $N=3$, тогда вершинами будут $\theta_1, \theta_2$ и $\theta_3$ и $\omega_1,\omega_2$ и $\omega_3$. Рёбра же отвечают соотношениям $\theta_i = \omega_j$. Удобно графически разделять случаи, когда $\theta_i$ стоит на своём месте и когда не на своём. Тогда пусть если $i = j$, то линия голубая, а если $i \neq j$, то оранжевая. Вот и весь рецепт графического представления микросостояний системы.

e7e5 в сообщении #1414764 писал(а):

Означает ли это, что система с гамильтонианом (1) может быть описана так сказать графически через графы перестановок?

Что вы вкладываете в эту фразу?

Спасибо. Вы привели понятное, как мне кажется, объяснение для меня.
Для случая $N=3$. Когда для всех трех элементов $(\theta_1,\theta_2,\theta_3)$ отсутствуют возбужденные состояния ($i = j$ и линия голубая) можно говорить об отсутствии инверсии ($j=0$). Если появляется одно возбужденное состояние, то нарушается порядок ("появляется" оранжевая линия) и возникает инверсия. Число перестановок трех элементов с нулевой инверсией - одна ($1,2,3$). Число перестановок трех элементов с одной инверсией - $2$. С двумя инверсиями - $2$, тремя инверсиями - $1$. Эквивалентное графическое представление и есть граф перестановки.
Такое описание очень напоминает последовательность чисел $T(n,k)$ http://oeis.org/A008302
К этой последовательности чисел есть такой комментарий:
"T(n,k) statistic counts (labelled) permutation graphs with n vertices and k edges."
То есть похоже именно то, о чем Вы упомянули в рецепте графического представления $N$ микросостояний. Правильно ли я понимаю?

[GraNiNi]

e7e5 в сообщении #1413458 писал(а):

"permutation glass" - как правильно перевести на русский?

Может здесь имеется ввиду - перестановки Гласса, по имени профессора Glass A. M. W, который развивал эту тему?
https://www.researchgate.net/scientific ... _M_W_Glass

https://www.litmir.me/bd/?b=520617

[GraNiNi]

Нет, скорей всего это просто совпадение, что профессор с фамилией Glass занимался теорией перестановок в обсуждаемом контексте.

[arseniiv]

(Да и перестановка Гласса была бы уже Glass permutation.)

[Gickle]

e7e5 в сообщении #1415242 писал(а):

Такое описание очень напоминает последовательность чисел $T(n,k)$ http://oeis.org/A008302

Наверное, ну и что из этого? Это довольно простая комбинаторика, по-моему, так что наверняка такая последовательность где-то в OEIS есть. Вполне возможно, что вот это она самая. Но я не очень улавливаю, в чём глубина мысли-то? Если $\lambda_i = \lambda \ \forall i,$ то тогда действительно имеет смысл говорить о состоянии с фиксированным $j$, которому при некоторому заданном $N$ будет отвечать, видимо, $T(N,j)$ микросостояний (ну или $T(j,N)$, я не разобрался). Можно тогда говорить об энтропии такого состояния и т.п. Но я так и не понял, что вы вкладываете во фразу

Цитата:

Означает ли это, что система с гамильтонианом (1) может быть описана так сказать графически через графы перестановок?

?

Что вы имеете в виду под "описать" здесь?

[e7e5]

Gickle в сообщении #1415515 писал(а):

e7e5 в сообщении #1415242 писал(а):

Такое описание очень напоминает последовательность чисел $T(n,k)$ http://oeis.org/A008302

Если $\lambda_i = \lambda \ \forall i,$ то тогда действительно имеет смысл говорить о состоянии с фиксированным $j$, которому при некоторому заданном $N$ будет отвечать, видимо, $T(N,j)$ микросостояний (ну или $T(j,N)$, я не разобрался). Можно тогда говорить об энтропии такого состояния и т.п. Но я так и не понял, что вы вкладываете во фразу

Цитата:

Означает ли это, что система с гамильтонианом (1) может быть описана так сказать графически через графы перестановок?

?
Что вы имеете в виду под "описать" здесь?

Какой-то глубокой мысли у меня, видимо, нет. Глядя на надпись рисунка $1$ о "permutation graph", я подумал: "Граф перестановки.https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation_graph Значит, есть перестановки каких-то элементов. Есть инверсии - нарушение "порядка". Правда, автор статьи об этом и не говорит. Статистика инверсий - классическая задача, давно известная (например по учебнику Феллера), но решенная для больших $N$. У меня же есть "рецепт", как находить асимптотическое разложение в центральной предельной теореме, моменты высших порядков. Зачем? - Дело в том, что максимальные члены $T(n,k)$ в ряду последовательности обладают свойством, которое ЦПТ описывает очень грубо ($N$ - очень большие). А реальная система может быть конечной. Я попробовал прикинуть, как будет отличаться результат для "конечного гауссиана" и случая бесконечного числа частиц - разница увеличивается по мере роста степени беспорядка, но она малая (хотя тоже вопрос, что такое много, мало)."

Если, как вы предлагаете $\lambda_i = \lambda \ \forall i,$, возможно говорить о статистике инверсий ("простая комбинаторика") $T(n,k)$, то я хотел бы понять, может ли скрываться какой-либо физический смысл за свойствами этих чисел, которые ЦПТ описывает грубо, какие пути выбирать для исследования? ( а может быть это все и ерунда).

И конечно интересно, что можно говорить об энтропии таких состояний?

[Gickle]

e7e5 в сообщении #1415555 писал(а):

Если, как вы предлагаете $\lambda_i = \lambda \ \forall i,$, возможно говорить о статистике инверсий ("простая комбинаторика") $T(n,k)$, то я хотел бы понять, может ли скрываться какой-либо физический смысл за свойствами этих чисел, которые ЦПТ описывает грубо, какие пути выбирать для исследования? ( а может быть это все и ерунда).

И конечно интересно, что можно говорить об энтропии таких состояний?

Первое, что приходит в голову (может, глупость вообще, особо не думал):

Если $\lambda_i = \lambda \ \forall i,$ то можно говорить о макроскопических состояниях, отвечающих различным значениям $j$. При этом число микросостояний, отвечающих данным макростостояниям, будет $T(N,j)$. Энергия состояния с $j$ перестановок есть $E(j) = j \lambda$, а энтропия $S(j;N) = \ln T(N,j)$. Следовательно, свободная энергия $F(j,\beta;N) = \lambda j - \beta^{-1} \ln T(N,j)$. Вот уже отсюда можно посмотреть, какому макросостоянию в пределе $N \to \infty будет отвечать минимальная свободная энергия, что может навести на некоторые мысли. Кроме того,

$$\langle j \rangle = \sum_{j=1}^N j e^{-\beta F(j,\beta;N)}.$$

Вот это всё дело посчитайте для начала в пределе $N \to \infty$, а там дальше уже разговаривать можно будет.