Ну наконец-то, нашелся хоть один, кому не надо разжевывать и который все понял с "первого скачка".
Иначе выйдет очередной сферический животный в вакууме
Вот мой вопрос частично и сводился к выявлению способов введения топологий (для согласования с непрерывностью на числах) с известными и "извращенными" способами. Какие из них можно считать естественными (критерии, мотивы), а какие, если их формально изобрести, придется оставить как "кони в вакууме"?
Ну и наиболее экономный способ (и практически всегда работающий) -- тупо добавить к аксиомам метрики аксиому однородности, после чего норма автоматически и возникает.
Это если метрическую топологию считать "богом данной". Критерий для "Экономный и работающий" нам всем известен, но про метрическую функцию можно было бы задать такие же вопросы, что про норму. То есть по идеологии моих вопросов, здесь нет разницы.
Там дальше слишком мудрёно, ...
Я примерно так и догадывался, но есть подозрение, что не так все фигово.
Известно ли кому рассуждение, что тот способ, что нам известен (неравенства треугольника и т.д.) единственный, чтобы создавать топологию на векторах? Если это вообще корректный ход рассуждений.
То, что здесь надо еще естественно договорить, я надеюсь, понятно. Речь все-таки идет не о полной абстракции, а о "содружестве" ее с той топологией, которую мы, не важно по каким причинам, считаем нужной нам
позарез
то есть топологичность используемого числового поля. Если дальше "махать руками", то слова примерно следующие. Поскольку на наших
пространствах есть ещё и линейная структура.
то интуиция подсказывает, что в силу абстрактной аддитивности/коммутативности на векторах - не понятно, почему вы говорите
беда?
- то рассуждения сведутся к чему-то одномерному и числовому (базисы, координаты). То есть к ОДНОМУ числу, значение которого мы условно назовем числовым значением нормы/метрики. А тут уже совсем тепло. Одно число создали из рассуждений, а сами числа перед этим, с "позарез" необходимой топологией, у нас уже есть. В конце концов, математиками же тоже движут мотивировки. Может что уже насочиняли.
PS. По поводу коней. Нормы у нас, даже если и возникают в прикладных задачах, не всегда хорошо отмотивированы. Скорее вводятся формально просто потому, что ничего другого математики еще не изобрели; что знаем, то и умеем. Конь, в общем-то, частично остается подвешенным в вакууме. И это все - в конечномерных пространствах. Бесконечность для меня сейчас тоже не существенна.