Топология на векторных пространствах

[maximav]

Сначала кратко. Почему создавая топологии на векторных пространствах мы опираемся на конструкцию нормы? Других способов я не припоминаю, но могу ошибаться.

Теперь подробнее. Ясно, что коль скоро векторное пространство содержит в себе числовые поля, мы наверно как-то должны опираться на топологию на этих полях (без нее не ясно, с чего вообще начинать), но почему мы вводим довольно специального вида аксиомы - нормы - не совсем ясно. Частично, я рассуждаю так. Если временно ограничиться числовым R-полем, топология которого построена по упорядочению <, т.е. (!) не нужна алгебра чисел, то мы, видимо (не знаю как и почему) должны найти некий переход от структуры векторного пространства к этой, более простой структуре чисел, где топология вроде есть и, соответственно, найти самосогласованный и непротиворечивый способ переформулировки топологии на числах $\mathbb R$ в искомую топологию на векторах. Известно ли кому рассуждение, что тот способ, что нам известен (неравенства треугольника и т.д.) единственный, чтобы создавать топологию на векторах? Если это вообще корректный ход рассуждений. Или, иначе, так. Если мы будем плясать из того, что на нашем числовом поле непрерывность алгебраических операций (так как мы построили алгебру поля) нам нужна позарез, то будет ли отсюда следовать, что топологию и непрерывность на векторах надо вводить так, как мы это уже делаем. Через норму и несмотря на то, что структура нормы допускает массу неизоморфных моделей, хотя на векторных пространствах разные нормы, если я не ошибаюсь (?), могут порождать топологически изоморфные пространства. Тут можно сразу контр-порассуждать на счет слабой сходимости в пространствах со скалярным произведением, но там, так или иначе, все связывается с той же нормой, которая с ним совместна по определению. Можно рассуждать еще и так. Перегоним - изоморфно - векторы в наборы чисел и начнем такие же рассуждения про эти совокупности чисел. Тут тогда как? На этом языке будет не проще?

[Brukvalub]

То ли новый хфилософф нарисовался, то ли кто-то из прежних переформатировался! Стандартная смесь дремучего невежества и безграничной самоуверенности в своей способности ставить математикам эпохальные проблемы!
Начнем разносить "идеи":

maximav в сообщении #1414024 писал(а):

Ясно, что коль скоро векторное пространство содержит в себе числовые поля

Это только самому хфилософу и ясно.

maximav в сообщении #1414024 писал(а):

Если мы будем плясать из того, что на нашем числовом поле непрерывность алгебраических операций (так как мы построили алгебру поля) нам нужна позарез, то будет ли отсюда следовать, что топологию и непрерывность на векторах надо вводить так, как мы это уже делаем.

-бессмысленный набор "умных" слов, "алгебра поля", "следует ли из необходимости резинки в трусах необходимость изучать Вселенную" и т.п.

maximav в сообщении #1414024 писал(а):

Через норму и несмотря на то, что структура нормы допускает массу неизоморфных моделей, хотя на векторных пространствах разные нормы, если я не ошибаюсь (?), могут порождать топологически изоморфные пространства.

- зачем все эти тривиальные сентенции уровня "вода мокрая, поэтому ей можно намочиться"?

maximav в сообщении #1414024 писал(а):

Перегоним - изоморфно - векторы в наборы чисел и начнем такие же рассуждения про эти совокупности чисел. Тут тогда как? На этом языке будет не проще?

Хотелось бы посмотреть на этот "перегон" для бесконечномерных топологических векторных пространств.
В целом, очень похоже на хфилософствования некоего печально известного Иващенко.

[пианист]

maximav в сообщении #1414024 писал(а):

Сначала кратко. Почему создавая топологии на векторных пространствах мы опираемся на конструкцию нормы? Других способов я не припоминаю, но могу ошибаться.

Если речь о пространстве функций, что является достаточно частым случаем, то сходимость задается обычно именно с использованием специфики функций, без каких-либо норм.

[alcoholist]

maximav в сообщении #1414024 писал(а):

Почему создавая топологии на векторных пространствах мы опираемся на конструкцию нормы?

Не всякое ТВП можно нормировать. Хорошее введение в предмет -- первая глава "Функц. анализа" Рудина. Потом можно книжку Робертсонов штудировать, если есть интерес.

-- Пн сен 09, 2019 09:02:26 --

maximav в сообщении #1414024 писал(а):

Перегоним - изоморфно - векторы в наборы чисел

Любая функция $f\colon A\to\mathbb{K}$ это тоже набор чисел $\{f(a), a\in A\}\in\mathbb{K}^A$.

[Munin]

maximav в сообщении #1414024 писал(а):

Почему создавая топологии на векторных пространствах мы опираемся на конструкцию нормы? Других способов я не припоминаю, но могу ошибаться.

Ну вот например. Есть алгебраическая геометрия - довольно большой раздел математики. И в нём используется топология Зариского (часто "Зарисского", Zariski), не опирающаяся на конструкцию нормы никак.

[maximav]

Мой вопрос крутился вокруг согласования топологии на числах с топологией на векторах. Привычная нам здесь конструкции нормы идет наверно от того, что она сама является числовой (одно числовое значение) функцией. То есть - это некий (привычно-естественный) способ сопоставления одной топологии с другой (искомой). Это еще надо понять. Но, как заметил alcoholist, а я именно в этом направлении и думал, можно ли (?) сочинить, что-нибудь посложнее 1-числовой функции, но тоже числового характера, и соорудить топологию по этой "не-норме". На счет Зарисского детали не помню ... но, как я догадываюсь, любой вариант корректной топологии все равно должен задействовать алгебру числового поля. Числовые функции будут по-любому? Или нет? Подразумевается, конечно, что мы будем далее строить непрерывные отображения из пространства, а его - при естественных оговорках - можно отождествить с наборами чисел.

(Оффтоп)

Модераторам:

Brukvalub в сообщении #1414033 писал(а):

То ли новый хфилософф нарисовался

Уберите пожалуйста отсюда этого болтуна. А то если им заняться, то будет как-то неудобно, когда на математическом форуме хвилософ "замочит математика", "компетентность" которого не дотягивает даже до того, чтобы догадаться о чем звон в математическом вопросе.

[Xaositect]

Совершенно непонятно, чего Вы хотите. Бывают топологические векторные пространства, не задаваемые нормами. Например, можно взять антидискретную топологию. Если антидискретная топология не интересна, ее можно отфакторизовать. Любое топологическое векторное пространство представляется в виде прямой суммы антидискретного и хаусдорфового.
В конечномерном случае все просто, любое хаусдорфово конечномерное ТВП линейное гомеоморфно стандартному, задаваемому нормой (любой нормой). В бесконечномерном случае все сложно, бывают ненормируемые ТВП. Есть важный класс локально выпуклых ТВП, которые задаются семействами полунорм (как, например, $\mathbb{C}^{\infty}(M)$).

[vpb]

maximav в сообщении #1414244 писал(а):

компетентность" которого не дотягивает даже до того, чтобы догадаться о чем звон в математическом вопросе.

Гулко звенит пустой кувшин, однако ...

[Lia]

maximav в сообщении #1414244 писал(а):

Уберите пожалуйста отсюда этого болтуна.

maximav
Предупреждение за хамство.

[Brukvalub]

maximav в сообщении #1414244 писал(а):

Мой вопрос крутился вокруг согласования топологии на числах с топологией на векторах.

Бессмысленная фраза. Какие числа, какая на них топология, какие векторы, какая на них топология? Ничего не ясно, одни лишь отрывочные термины.

maximav в сообщении #1414244 писал(а):

Привычная нам здесь конструкции нормы идет наверно от того, что она сама является числовой (одно числовое значение) функцией.

Бессмысленная фраза. На векторном пространстве можно задать какие угодно числовые функции, которые не будут нормами, и норма является нормой вовсе не потому, что это числовая функция.

maximav в сообщении #1414244 писал(а):

То есть - это некий (привычно-естественный) способ сопоставления одной топологии с другой (искомой). Это еще надо понять.

Кому это надо понять? Это вы нам задачу ставите?

maximav в сообщении #1414244 писал(а):

Но, как заметил alcoholist, а я именно в этом направлении и думал, можно ли (?) сочинить, что-нибудь посложнее 1-числовой функции, но тоже числового характера, и соорудить топологию по этой "не-норме".

Бессмысленная фраза: "а давайте что-то там придумаем, но чтобы числового характера, и чтобы топологию соблюсти". Фантастика в мире хфилософии!!!
Кто это должен придумать? Да и разве здесь можно понять, что придумывать-то надо? Это просто бессмысленный набор слов с "кривым" использованием терминов.

maximav в сообщении #1414244 писал(а):

На счет Зарисского детали не помню ... но, как я догадываюсь, любой вариант корректной топологии все равно должен задействовать алгебру числового поля.

Не нужно излагать нам свои бессмысленные "догадки", не изучив даже задов математики. Это выглядит просто неприлично!

maximav в сообщении #1414244 писал(а):

Числовые функции будут по-любому? Или нет? Подразумевается, конечно, что мы будем далее строить непрерывные отображения из пространства, а его - при естественных оговорках - можно отождествить с наборами чисел.

Бессмысленная фраза. Где "Числовые функции будут по-любому? " Кто будет строить "непрерывные отображения из пространства" и куда будут действовать эти непрерывные отображения? При каких оговорках "а его - при естественных оговорках - можно отождествить с наборами чисел."
Просто наборы слов, из которых понять что-либо - невозможно!
О чем этот человек пишет? Зачем он все это нам излагает?
Это же явная лженаука и профанация, с которой здесь активно борятся!

[alcoholist]

maximav в сообщении #1414244 писал(а):

На счет Зарисского детали не помню ... но, как я догадываюсь, любой вариант корректной топологии все равно должен задействовать алгебру числового поля.

Топология Зарисского легко гуглится.

-- Вт сен 10, 2019 11:38:44 --

maximav, вторю вслед Xaositect:

Xaositect в сообщении #1414278 писал(а):

Совершенно непонятно, чего Вы хотите.

[maximav]

Xaositect в сообщении #1414278 писал(а):

Бывают топологические векторные пространства, не задаваемые нормами.

Не уводите в сторону. Топологические векторные пространства меня не интересуют.

alcoholist в сообщении #1414363 писал(а):

... вторю вслед Xaositect в сообщении
Совершенно непонятно, чего Вы хотите.

Я правильно понимаю, что вам не понятны мои вопросы?

maximav в сообщении #1414024 писал(а):

... почему мы вводим довольно специального вида аксиомы - нормы ...

... найти ... способ переформулировки топологии на числах $\mathbb R$ в искомую топологию на векторах

Если мы будем плясать из того, что на нашем числовом поле непрерывность алгебраических операций (так как мы построили алгебру поля) нам нужна позарез, то будет ли отсюда следовать, что топологию и непрерывность на векторах надо вводить так, как мы это уже делаем. Через норму ...

Мой вопрос крутился вокруг согласования топологии на числах с топологией на векторах.

... можно ли (?) сочинить, что-нибудь посложнее 1-числовой функции, но тоже числового характера, и соорудить топологию по этой "не-норме".

Подразумевается, конечно, что мы будем далее строить непрерывные отображения из пространства

[Xaositect]

maximav в сообщении #1414554 писал(а):

Не уводите в сторону. Топологические векторные пространства меня не интересуют.

А что Вас тогда интересует? Вы хотите некое "согласование топологии на числах с топологией на векторах". Какие Ваше ограничения, если не непрерывность операций?

[alcoholist]

maximav в сообщении #1414554 писал(а):

Топологические векторные пространства меня не интересуют.

Тогда поменяйте название топика:)))

-- Ср сен 11, 2019 15:01:02 --

maximav в сообщении #1414554 писал(а):

почему мы вводим довольно специального вида аксиомы - нормы

Повторите, пожалуйста, по-русски. Так как написана бессмыслица -- "нормы" не являются "аксиомами", если понимать эти слова в общепринятом значении.

-- Ср сен 11, 2019 15:01:54 --

maximav в сообщении #1414554 писал(а):

найти ... способ переформулировки топологии на числах $\mathbb R$ в искомую топологию на векторах

непонятно, что такое "переформулировка топологии"

-- Ср сен 11, 2019 15:03:02 --

maximav в сообщении #1414554 писал(а):

на нашем числовом поле непрерывность алгебраических операций (так как мы построили алгебру поля)

поле является одномерной алгеброй над собой, никакой непрерывности тут нет

-- Ср сен 11, 2019 15:05:24 --

maximav в сообщении #1414554 писал(а):

Мой вопрос крутился вокруг согласования топологии на числах с топологией на векторах

"Топология на числах" -- это топология на поле? "Топология на векторах" -- это топология векторного пространства над данным полем?

-- Ср сен 11, 2019 15:07:15 --

maximav в сообщении #1414554 писал(а):

... можно ли (?) сочинить, что-нибудь посложнее 1-числовой функции, но тоже числового характера, и соорудить топологию по этой "не-норме"

не ждите пока явится телепат и расшифрует для всех ваши вопросы, постарайтесь формулировать ясно и четко!

[arseniiv]

(Оффтоп)

maximav в сообщении #1414554 писал(а):

Не уводите в сторону. Топологические векторные пространства меня не интересуют.

Что интересно, я тоже решил, что речь о них. Может, стоит выражаться яснее? Освоить наконец общепринятую математическую терминологию, я не знаю. Осознать, что некоторые люди вполне серьёзно собирались вам помочь несмотря на вашу историю на форуме, и что писать им «не уводите в сторону» — это скорее всего лишиться этой потенциальной помощи, потому что мало у кого есть время на бессмысленные препирания и угадайку.