Круги на воде

[Sicker]

Однажды Фейнман задумался над следующим вопросом - пусть у нас есть бассейн с плавающими людьми. Эти люди создают волны, распространяющиеся по бассейну, и которые может наблюдать жук, сидящий в углу бассейна. И по приходящим колебаниям может воссоздать картину плавающих людей.
Я решил придумать способ, каким образом это можно сделать. Полагаем, что частоты (пространственные и временные) волн постоянны, и только амплитуда зависит от расстояния.
И пусть мы можем наблюдать какую-то ограниченную область возле угла и считать приходящие волны плоскими. Тогда возникают следующие вопросы.
1. Мы по идее можем по имеющимся колебаниям построить двухмерный график комплексных амплитуд в нашем наблюдаемом квадрате, а потом разложить его в интеграл Фурье, только вот незадача - однозначно разложить функцию в интеграл Фурье можно только на бесконечной плоскости, а не в ограниченной области.
2. Замечаем, что частота известна и постоянна, так что это может быть возможно. Для выделения волны под определенным углом разложим волновое число $k$ на составляющие проекции $k_x$ и $k_y$, которые нам нужно выделить (их можно взять любыми). Согласно выбранным проекциям расположим две перпендикулярные полоски приемных элементов, которые будут давать функцию одномерной комплексной амплитуды в заданном фиксированном направлении и на определенном расстоянии (брать бесконечную полоску приемные элементов нельзя, приемные элементы расположены очень близко друг к другу). Сделаем длину приемных элементов кратной $k_x$ и $k_y$ проекциям. Тогда для выделения данных частот можем использовать метод резонанса - падаем на колебательный элемент с нужной резонансной частотой комплексные амплитуды, которые получаются считыванием комплексной амплитуды равномерной движущейся точки на данных полосках, где при достижении края точка меняет направление. Таким образом имеем сигнал, который содержит чистую составляющую $k_x$, и немного искаженные составляющие других частот от волн, приходящих под другими углами. К сожалению это искажение в пределе бесконечного времени не стремится к нулю по сравнению с резонансным сигналом, так что получаем некий приближенный вектор. Но мы можем выбрать много разных $k_x$ и $k_y$, и по идее восстановить точно амплитуду приходящей под определенным углом волны. А также просто увеличить кратность длин полосок, но это затратно.
Это нормальный путь решения данной задачи или есть лучше?

[wrest]

Sicker
Что-то я не уверен что можно "воссоздать картину". Из-за принципа Гюйгенса-Френеля.

[Gleb1964]

Можно, конечно. Можно сделать, по аналогии с оптикой, "линзу" для волн - отмель с соответствующим профилем дна. Такая отмель будет вносить задержку фазы в волной фронт, по центру больше, по краям меньше, примерно по квадратичному закону. Можно обратить на то обстоятельство, что у такой "линзы" будет параметр, схожий с фокусным расстоянием, плюс еще все недостатки, связанные с дисперсией скорости волн на воде - хроматизм. Такой "линзой" можно получить "изображение" источника волн, если отфокусироваться. Линза - аналог преобразования фурье. Значит, если заменить линзу математикой, в преобразованиях фурье тоже должен присутствовать фактор фокусировки.

[arseniiv]

Sicker в сообщении #1414309 писал(а):

и считать приходящие волны плоскими

Как понимаю, не в том смысле, что раскладывать их в сумму плоских, а просто считать, что источники достаточно далеко? Если принять, что приходят в точности плоские, вы сможете установить — очевидно — лишь направление на источник. И если два таких бесконечно удалённых источника излучают с одной и той же частотой, то вы даже получите неверное направление куда-то мимо обоих.

[Sicker]

Gleb1964 в сообщении #1414347 писал(а):

Значит, если заменить линзу математикой, в преобразованиях фурье тоже должен присутствовать фактор фокусировки.

А можно поподробнее про фактор фокусировки в преобразовании Фурье?

arseniiv в сообщении #1414395 писал(а):

Как понимаю, не в том смысле, что раскладывать их в сумму плоских, а просто считать, что источники достаточно далеко?

Ну да

arseniiv в сообщении #1414395 писал(а):

Если принять, что приходят в точности плоские

Зачем в точности? В физике этого почти никогда не нужно

arseniiv в сообщении #1414395 писал(а):

вы сможете установить — очевидно — лишь направление на источник

Почему, зная амплитуду может установить и расстояние

arseniiv в сообщении #1414395 писал(а):

И если два таких бесконечно удалённых источника излучают с одной и той же частотой, то вы даже получите неверное направление куда-то мимо обоих.

Если взять достаточно большую область по сравнению с длинами их волн, то можно их разложить в ряд Фурье и определить их местоположение с достаточно высокой точностью
Или что имел ввиду Фейнман?

[wrest]

Не ну если

1. "Источники" не двигаются.
2. "Источники" точечные.
3. Амплитуда и частота каждого "источника" фиксирована (не меняется во время эксперимента).
4. "Источники" излучают бесконечно долго (т.е. имеем установившийся режим).
5. Может ещё изотропность "источника" надо потребовать, чтобы не спутать затухание с анизотропностью.

Тогда наверное можно что-то вычислить (в спектре будет количество палок по количеству источников, затем по каждой палке восстановим волну и вычислим откуда пришла).

Если в бассейне "плавают люди" а в углу "сидит жук", то помойму никакие Фурье не помогут.

Касательно оптической аналогии, то по фотографии\видеозаписи нельзя восстановить что где было. Ну то есть -- фотали вы бассейн или фотали вы фотку бассейна -- определить нельзя. По голограмме можно, но это очень другое.

[Gleb1964]

Sicker в сообщении #1414309 писал(а):

Я решил придумать способ, каким образом это можно сделать.

Если пример с "линзой" из отмели не подходит, можно сделать по другому - ряд поплавков на воде регистрирующих амплитуду и фазу волн на каждом поплавке. Ряд поплавков формирует приемную апертуру. Пространственная частота расположения поплавков должна быть выше удвоенной частоты Найквиста для проекции приходящих волн на "апертуру".

arseniiv в сообщении #1414395 писал(а):

Если принять, что приходят в точности плоские, вы сможете установить — очевидно — лишь направление на источник. И если два таких бесконечно удалённых источника излучают с одной и той же частотой, то вы даже получите неверное направление куда-то мимо обоих.

Все прекрасно разделяется. Предположение источника "на бесконечности" упростит задачу - амплитуда сигнала на поплавках будет одинаковой.
Если есть распределение амплитуд и фаз на некотором участке - "апертуре" размером $ D $, то волновая оптика предвидит возможность восстановление направления на источник с угловой погрешностью $ \frac { \lambda }{ \cos( \varphi) \, D } $, а если источник находится на конечном расстоянии $ S $, то и расстояния до него с погрешностью фокусировки $ \frac { 2 \lambda \, S^{2} }{ ( \cos( \varphi) \, D )^{2} } $, где $ \lambda $ длина волны, а $ ( \cos( \varphi) \, D ) $ проекция размера апертуры на направление $ \varphi $ прихода волны.

[Sicker]

wrest
Ну а как люди воссоздают трехмерную картину по видимым электромагнитным волнам?

Gleb1964 в сообщении #1414400 писал(а):

ряд поплавков на воде регистрирующих амплитуду и фазу волн на каждом поплавке. Ряд поплавков формирует приемную апертуру

Надо по идее два перпендикулярным ряда, раз задача двухмерная?

Gleb1964 в сообщении #1414400 писал(а):

Если есть распределение амплитуд и фаз на некотором участке - "апертуре" размером $ D $, то волновая оптика предвидит возможность восстановление направления на источник с угловой погрешностью $ \frac { \lambda }{ \cos( \varphi) \, D } $, а если источник находится на конечном расстоянии $ S $, то и расстояния до него с погрешностью фокусировки $ \frac { 2 \lambda \, S^{2} }{ ( \cos( \varphi) \, D )^{2} } $, где $ \lambda $ длина волны, а $ ( \cos( \varphi) \, D ) $ проекция размера апертуры на направление $ \varphi $ прихода волны.

Ну вот, это примерно о чем я и говорил

[Gleb1964]

Sicker в сообщении #1414397 писал(а):

А можно поподробнее про фактор фокусировки в преобразовании Фурье?

Нужно к фазам на входной апертуре добавить параметры вариации фазы по направлению и фокусировке. По направлению это наклон волнового фронта - добавка фазы пропорционально координате на апертуре $ \rho \, \cos ( \varphi ) $. Расфокусировка по формуле $ ( 2 ( \rho \, \cos ( \varphi ))^{2}-1 ) $. Здесь $ \rho = x / D $ нормализированная координата на апертуре, исчисляемая от центра апертуры и равная 1 и -1 на краях апертуры.
Перебирая параметры добавки фазы от направления и фокусировки, можно добиться синфазности волнового фронта на апертуре, т.е. локализировать источник волн.

-- 10.09.2019, 14:28 --

Sicker в сообщении #1414401 писал(а):

Ну а как люди воссоздают трехмерную картину по видимым электромагнитным волнам?

Люди восстанавливают трехмерную картинку мира по параллаксу при стереоскопическом зрении двумя глазами, с помощью "динамического" параллакса - за счет разной величины смещения предметов при движении, а также по глубине аккомодации глаза (на коротких дистанциях). Последний случай аналогичен рассмотренному ранее.

[wrest]

Sicker в сообщении #1414401 писал(а):

Ну а как люди воссоздают трехмерную картину по видимым электромагнитным волнам?

Так вот а что вы имеете в виду? Если говорить про зрение, или фото, то речь как раз о реализации принципа Гюйгенса-Френеля, когда излучающим вы считаете лицо того чей потрет на фото, а не источник света который "где-то там" и на фото может быть не виден, и где он расположен может быть и неинтересно.

Если про радиолокацию (например ПВО) -- то по запаздыванию сигнала вычисляют расстояния, ну плюс угломер ещё. Или сразу антенной решеткой -- конкретное направление (два угла) а по запаздыванию - расстояние.

Если про какое-то "сканирование", то там свои заморочки. Например, роботы-пылесосы вращают лазерный луч и ловят ответ. Поэтому если луч попал в зеркало, выходит забавно. Да и вообще, зеркала вносят некоторую сумятицу в "трехмерную картину по видимым электромагнитным волнам" и нужны мозги, чтобы с ней разобраться.

Короче говоря, на "жука на краю бассейна" это всё не похоже.

Есть ещё способ сфотографировать т.н. "световое поле", это хотели делать в фотоаппарате Lytro, но кажись нормально развить технологию не смогли. Это наиболее похоже на "жука на краю бассейна", но только опять же фотаются не "первичные" источники, а все.

[arseniiv]

Sicker в сообщении #1414401 писал(а):

Ну а как люди воссоздают трехмерную картину по видимым электромагнитным волнам?

Gleb1964 в сообщении #1414402 писал(а):

Люди восстанавливают трехмерную картинку мира по параллаксу при стереоскопическом зрении двумя глазами, с помощью "динамического" параллакса - за счет разной величины смещения предметов при движении, а также по глубине аккомодации глаза (на коротких дистанциях).

Кстати не всё так просто. Есть ряд зрительных иллюзий, касающихся именно определения нами расстояний. В частности, для далёких объектов параллакс мы скорее всего уже использовать не можем и пользуемся тем же, что (в какой-то степени) помогает, когда работает только один глаз. И плюс параллаксом может пользоваться и один глаз, если мы движемся относительно сцены. Это использовали в псевдотрёхмерных гифках, где предметы дрожат с разной амплитудой.

И уже для Sicker: заметьте, что мы определяем так в основном только некоторый набор передних поверхностей, а всё, что ею загораживается, мы достраиваем на основании других данных. А тут вы говорите о восстановлении положений всех источников, плюс то, что уже сказал wrest.

[Xmas]

Осмелюсь предположить, что люди такого уровня, как Фейнман, ничего зря не говорят.

Если бы допускался протяжённый приёмник, то вместо бассейна было бы "озеро с лягушками и удав, лежащий на берегу", а в самом простом случае - "лужа с лягушками, и удав, лежащий кольцом вокруг лужи".

"Жук", по всей видимости, символизирует точечный приёмник - способный определить направление прихода, фазу во времени и амплитуду, но не пространственную частоту, как в фурье-оптике. Цель задумки, вероятно, - подобрать "корпускулярный аналог" преобразования Фурье. Если частица может смотреться и как волна, и как корпускула, то почему бы не существовать также и дуальному преобразованию, которое вместо амплитуды-фазы работает с импульсами?

[wrest]

arseniiv в сообщении #1414412 писал(а):

И плюс параллаксом может пользоваться и один глаз, если мы движемся относительно сцены.

И даже если не движемся. См. "саккады". Якобы, даже такая мелкая стереобаза создаваемая в одном глазу (второй например закрыт или отсутствует) добавляет инфу к распознаванию расстояний (конечно, только на коротких дистанциях).

[arseniiv]

Xmas в сообщении #1414416 писал(а):

Цель задумки, вероятно, - подобрать "корпускулярный аналог" преобразования Фурье. Если частица может смотреться и как волна, и как корпускула, то почему бы не существовать также и дуальному преобразованию, которое вместо амплитуды-фазы работает с импульсами?

Это выглядит крайне бессмысленно, прежде всего потому что «корпускулярно-волновой дуализм» — это неудачный архаизм, выживающий благодаря дырам в популяризации. («Релятивистская масса» — другой пример.)

[Xmas]

arseniiv, а какое представление, по-Вашему, правильное?