Неоднородное уравнение от 10 переменных

[vicvolf]

Дано неоднородное уравнение:

$x_1^4+x_2^4+x_3^3+x_4^3+x_5^3=y_1^4+y_2^4+y_3^3+y_4^3+y_5^3$. (1)

1. Простая задача - сделать асимптотическую оценку снизу количества натуральных решений уравнения (1) в гиперкубе со стороной $N$.

2. Задача посложнее - сделать асимптотическую оценку сверху количества натуральных решений уравнения (1) в гиперкубе со стороной $N$.

При решении задачи 2 учесть, что на основании монографии (Р. Вон "Метод Харди-Литтлвуда", М.,Мир,1984, 184 стр.) количество натуральных решений неоднородного уравнения:
$x_{11}^{k_1}+...+x_{s_1}^{k_1}+...+x_{l1}^{k_l}+...+x_{ls_l}^{k_l}=y_{11}^{k_1}+...+y_{s_1}^{k_1}+...+y_{l1}^{k_l}+...+y_{ls_l}^{k_l}$ (2)

в гиперкубе со стороной $N$ соответствует интегралу:
$\int_{0}^{1} {|f_{k_1}(x)|^{2s_1} \cdot ...\cdot |f_{k_l}(x)|^{2s_l}dx}$. (3)

При оценке интеграла (3) рекомендуется использовать лемму Хуа (стр. 20 указанной выше монографии), либо оценку: $\int_{0}^1{|f(x)|^{2s} dx}<< N^{2s-k+\epsilon}$ (4) в зависимости от соотношения $k_i,s_i$.

[vicvolf]

Немного подскажу по первой задаче.

Обозначим количество натуральных решений уравнения $x_1^4+x_2^4=y_1^4+y_2^4$ (5) в гиперкубе со стороной $N$ - $R_4^{*}(N)$,

а количество натуральных решений уравнения $x_3^3+x_4^3+x_5^3=y_3^3+y_4^3+y_5^3$ (6) в гиперкубе со стороной $N$ -$R_6^{*}(N)$.

Тогда для количества натуральных решений уравнения (1) в гиперкубе со стороной $N$ справедлива оценка:

$R_{10}^{*}(N) \geq R_4^{*}(N)R_6^{*}(N)$. (7)

Например, без учета перестановочных решений уравнений (5), (6), на основании (7), справедлива оценка:

$R_{10}^{*}(N) \geq N^5$. (8)

Может ли кто-нибудь из участников форума уточнить вид полинома 5-ой степени в формуле (8) с учетом перестановочных решений уравнений (5), (6)?

[vicvolf]

С учетом перестановочных решений коэффициент при $N^5$ равен $2!3!$, т.е. многочлен имеет вид: $12N^5+....$.

Может кто-то определит другие коэффициенты многочлена?

В любом случае $R_{10}^{*}(N) \geq CN^5$, где $C$ - постоянная.

Поэтому, используя обозначения Виноградова, асимптотическую оценку снизу количества натуральных решений уравнения (1) в гиперкубе со стороной $N$ можно записать в виде:

$R_{10}^{*}(N) >> N^5$. (9)

[vicvolf]

Теперь о решении 2-ой задачи.

На основании (3) для количества натуральных решений уравнения (1) в гиперкубе со стороной $N$ получим:

$R_{10}^{+}(N)=\int_0^1{|f_3(x)|^6|f_4(x)|^4} dx$. (10)

На основании неравенства Коши-Буняковского и (10):

$\int_0^1{|f_3(x)|^6|f_4(x)|^4} dx \leq (\int_0^1{|f_3(x)|^{12}} dx)^{1/2}(\int_0^1{|f_4(x)|^{8}} dx)^{1/2}$. (11)

На основании (4) получим оценку:

$\int_0^1{|f_3(x)|}^{12}}dx <<N^{9+\epsilon_1}$, (12) так как $2s=12>2^3=8$.

На основании леммы Хуа получим оценку:

$\int_0^1 {|f_4(x)|^8}dx << N^{5+\epsilon_2}$, (13) так как $2s=8<2^4=16$.

Учитывая (10),(11), (12), (13) получим искомую оценку:

$R_{10}^{+} << (N^{9+\epsilon_1})^{1/2}(N^{5+\epsilon_2})^{1/2}=N^{7+\epsilon}$. (14)

Сравните асимптотическую оценку сверху (14) с оценкой снизу (9).