2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7  След.
 
 Re: Уравнение Пелля с параметром
Сообщение25.08.2019, 12:45 


26/08/11
1886
dmd в сообщении #1411879 писал(а):
Проверил формулы Виета. Если один из корней равен 1, то второй корень не существует.

Любое решение уравнения
$4c^2-4(ab+2)c+(a+b)^2=0$

в натуральных числах спускается до $a=3,b=1,c=1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пелля с параметром
Сообщение25.08.2019, 13:47 


16/08/05
1063
Shadow

Для неизвестной $c_2$ система $\begin{cases}1+c_2= ab+2 \\ 1\cdot c_2=\dfrac{(a+b)^2}{4}\end{cases}$ не имеет решения при любых $a,b$. Доказательство со спуском Виета строится для двух корней одновременно, насколько понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пелля с параметром
Сообщение25.08.2019, 14:26 


26/08/11
1886
dmd в сообщении #1411944 писал(а):
не имеет решения при любых $a,b$
$a=3,b=1$ проверили?

-- 25.08.2019, 13:29 --

Давайте подниматся, фиксируя $c=1$ из $(3,1)$ - наверное станет яснее и как работает спуск.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пелля с параметром
Сообщение25.08.2019, 14:37 


16/08/05
1063
Shadow
Да, Вы правы! Приношу извинения за нелепые утверждения, запутался.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пелля с параметром
Сообщение26.08.2019, 06:13 


21/11/12
1041
Санкт-Петербург
Andrey A в сообщении #1411894 писал(а):
... Все слагаемые последнего равенства целые числа, значит $u$ всё-таки целое.

К сожалению это не верно. Все мои предыдущие выкладки лишь частный случай. Увы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пелля с параметром
Сообщение01.09.2019, 23:46 


21/11/12
1041
Санкт-Петербург
nnosipov в сообщении #1409672 писал(а):
$$x^2-(l^2+l)y^2=-(l^2-1)$$

Можно это еще переписать так: $x^2-1=l\left ( (l+1)(y^2-1)+1 \right )$. Подставляя $x+1=AC,x-1=BD,l=AD, (l+1)(y^2-1)+1=BC$, получаем линейную систему относительно $x,C,D$:

$AC-x=1$

$x-BD=1$

$BC-A(y^2-1)D=y^2$

В итоге дело сводится к существованию сократимой дроби вида $\dfrac{Ay^2-2B}{B^2-(y^2-1)A^2}=D.$ Тут $y$ снова приходится брать аргументом, знаки $A,B$ можно варьировать. Тогда $l=AD,x=BD+1$ и собственно $y$ являются решением начального уравнения. Я не вникал в доказательство опуском, если оно удовлетворительно, всё к тому что положительные значения $l$ достигаются только когда в знаменателе дроби единица. Надо пробовать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пелля с параметром
Сообщение02.09.2019, 10:50 


21/11/12
1041
Санкт-Петербург
P.S. Если вместо $A,B$ подставить $AK,BK$, то дробь перестает быть целым числом, но на величину $l,x$ это не влияет. Поэтому для анализа полезно считать пару $A,B$ вз. простой (тогда $D$ именно целое), но в экспериментах этого можно не отслеживать. Достаточно чтобы $l$ оказалось целым числом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пелля с параметром
Сообщение02.09.2019, 21:36 


21/11/12
1041
Санкт-Петербург
PS PS Обозначим знаменатель дроби буквой $M=B^2-(y^2-1)A^2.$ Практика подсказывает, что при $\left | M \right |>y$ удается получить только отрицательные $l$. Тут должны быть более точные оценки, но примем пока $\left | M \right |<y$. Понять условия сократимости дроби помогает взаимная простота пары $(A,B)$, благодаря чему становится возможна серия манипуляций со сравнениями. Перепишем исследуемую дробь так: $\dfrac{Ay^2-2B}{A^2+B^2-y^2A^2}=D.$ Предполагая далее вз. простоту слагаемых с модулем, запишем $\left\{\begin{matrix}
Ay^2 \equiv 2B \\ 
A^2y^2 \equiv A^2+B^2
\end{matrix}\right. \mod M.$ Разделив почленно нижнее на верхнее, имеем $A \equiv \dfrac{A^2+B^2}{2B}$, или $2AB \equiv A^2+B^2$, или $(A-B)^2 \equiv 0 \mod M$. $M$ делит $(A-B)^2$, тут всё просто, но об $y$ ничего не известно, а он взят за аргумент. Положим $M=ab^2$, где $a$ свободно от квадратов. Такое представление всегда возможно, и всегда найдется $c$ такое, что $ab^2 \cdot ac^2=(A-B)^2$. Тогда $A-B=abc$, и $ab \mid A-B$, то есть $A \equiv B \mod ab$. Поскольку $ab \mid M$, можно записать $\left\{\begin{matrix}
Ay^2 \equiv 2B \\ 
A \equiv B
\end{matrix}\right. \mod ab$, откуда $y^2 \equiv 2 \mod ab.$ В итоге получаем уравнение $$B^2-(y^2-1)A^2=ab^2\ (3),$$ где $ab$ – некоторый маленький делитель числа $y^2-2,\ a$ свободно от квадратов и не обязательно отрицательно. Похоже на уравнение $(2)$, но круг поиска заметно расширяется, или расширяется круг малоразрешимых Пеллей (если доказательство опуском в силе). Полной уверенности в неразрешимости $(3)$ у меня нет, поскольку допущение о вз. простате слагаемых в первой системе искусственно. Тогда дробь сократится не полностью. Важно не забывать $\gcd (A,B)=1,\ \left | ab^2 \right |<y.$ Знак $B$ предполагает варианты $\pm$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пелля с параметром
Сообщение05.09.2019, 11:10 


21/11/12
1041
Санкт-Петербург
Andrey A в сообщении #1413335 писал(а):
... допущение о вз. простате слагаемых в первой системе искусственно.

PS PS PS Если в первом сравнении системы предположить $\gcd (B,y)>1$, то из второго сравнения следует также $\gcd (A,B)>1$, что противоречит предположению. Так что и не искусственно. Пример разрешимости $(3)$ дают уже $y=18,a=-2,b=7.$ Уравнение $B^2-323A^2=-98$ имеет серию решений $\dfrac{B}{A}=\dfrac{15}{1},\dfrac{23}{3},\dfrac{1923}{107},...$ Дробь $\dfrac{A \cdot 18^2 \pm 2B}{-98}$ действительно сократима, но $\left | -98 \right | >18$, поэтому $l$ отрицательное. Если же взять $y$ побольше, например $122$, оставив в правой части $-98$, уравнение сразу становится неразрешимым, хотя все параметры остаются квадратами по нужным модулям. Мистика.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пелля с параметром
Сообщение06.09.2019, 21:20 
Заслуженный участник


20/12/10
7003
Andrey A в сообщении #1413716 писал(а):
Мистика.
Просто слишком удачное стечение обстоятельств. Надо ж было мне (совершенно случайно!) придумать такую головоломку. Чуть-чуть изменив правую часть, мы получим ожидаемую сложную картину. А именно, уравнение $x^2-(l^2+l)y^2=-l^2-1$ разрешимо для $l=t^2+1$, но не только: здесь полно дополнительных значений, для которых это уравнение разрешимо (наименьшее из них $l=85$), однако уловить закономерность вряд ли удастся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пелля с параметром
Сообщение06.09.2019, 23:50 


21/11/12
1041
Санкт-Петербург
Еще по поводу уравнения $p^2-(y^2-1)q^2=\dfrac{2-y}{d}\ (2)$. Его можно переписать так: $(qy)^2-p^2=\dfrac{y^2-2}{d}+q^2.$ Для положительного $m=a^2-b^2$ значения $a$ не могут превышать $\dfrac{m+1}{2}$, поэтому можно записать $qy \leqslant \dfrac{\dfrac{y^2-2}{d}+q^2+1}{2}$. Отсюда получаем "запретный" интервал для возможных значений $q:\ \left ( y-\sqrt{\dfrac{d-1}{d}(y^2-1)+\dfrac{1}{d}}\ ,\ y+\sqrt{\dfrac{d-1}{d}(y^2-1)+\dfrac{1}{d}} \right )$. Для $d=1$ ограничение минимально: $q \neq y$, но уже для $d=2$ протяженность интервала есть функция от $y$, а с ростом $d,y$ можно использовать грубое приближение $q \geqslant 2y.$ Практика подсказывает, что "подходящая" дробь с таким знаменателем всегда выходит за пределы первого периода (если использовать методику предложенную здесь). Длинных периодов ожидать не приходится, т.к. под радикалом квадрат без единицы. Иными словами, потенциально наименьшее решение при $d>1$ попадает в "запретную зону", ну, а если нет наименьшего, нет и остальных. На доказательство это не тянет, но хотя бы объясняет смысл происходящего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пелля с параметром
Сообщение07.09.2019, 12:18 


26/08/11
1886
nnosipov в сообщении #1413953 писал(а):
А именно, уравнение $x^2-(l^2+l)y^2=-l^2-1$ разрешимо для $l=t^2+1$, но не только: здесь полно дополнительных значений, для которых это уравнение разрешимо (наименьшее из них $l=85$), однако уловить закономерность вряд ли удастся.
По аналогии, заменой $l=c-1,y=b,x=\dfrac{(2c-1)b-a}{2}$

сводится к квадратному относительно любой из трех переменных, с корневым решением $a=3,b=1,c=2$
Первые несколько решений из корневого:

$\xymatrix{\boxed{7,1,3}&&\boxed{3,29,3}&&\boxed{3,17,51}&&\boxed{99,17,2}\\&\boxed{3,1,3}\ar[lu]\ar[ru]&&&&\boxed{3,17,2}\ar[lu]\ar[ru]\\&&&\boxed{3,1,2}\ar[llu]\ar[rru]}$

Но тут $c_1c_2=\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2+2$ (в другом варианте $+2$ не было и все было ясно).
И тут совсем не обязательно, чтобы все $c$ были представимы в виде $t^2+2$ - соответственно $l=t^2+1$

На картинке все $c$ имеют вид $t^2+2$, просто потому чтo числа небольше. Потом пойдут другие. Единственое, что можно сказать - что $c$ представимо в виде $u^2+2v^2$, но этого мало чтобы уловить закономерность.

-- 07.09.2019, 11:24 --

Ой я тупо повторил замену. Надо было заменить $l=c+1$ и посмотреть на формулу Виета. Сейчас.

-- 07.09.2019, 11:38 --

Ничего лучшего... :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пелля с параметром
Сообщение07.09.2019, 14:39 
Заслуженный участник


20/12/10
7003
Shadow в сообщении #1414005 писал(а):
Единственое, что можно сказать - что $c$ представимо в виде $u^2+2v^2$, но этого мало чтобы уловить закономерность.
Подсчитал ради любопытства: для $l=c-1 \in [10^5,10^6]$ таких значений всего $8$ штук. Чисел, представимых формой $u^2+2v^2$, на этом интервале гораздо больше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пелля с параметром
Сообщение08.09.2019, 17:15 


26/08/11
1886
nnosipov в сообщении #1414018 писал(а):
Подсчитал ради любопытства: для $l=c-1 \in [10^5,10^6]$ таких значений всего $8$ штук
Я тоже ради любопытства посмотрел (стандартным способом) какого вида может быть $l$, кроме $l=t^2+1$
Из него получается $l=16 t^6 - 32 t^5 + 88 t^4 - 96 t^3 + 129 t^2 - 70 t + 50$
И другие полимомы очень выской степени, принимающие приличные значения только при $|t|<2$
Понятно, что числа первого вида встречаются гораздо чаще остальных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пелля с параметром
Сообщение08.09.2019, 17:30 
Заслуженный участник


20/12/10
7003
Shadow в сообщении #1414140 писал(а):
Из него получается $l=16 t^6 - 32 t^5 + 88 t^4 - 96 t^3 + 129 t^2 - 70 t + 50$
Стандартный способ --- имеется в виду интерполяция?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 92 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group