Элементарная геометрия, ГМТ

[SiberianSemion]

Даны две различные точки $A$ и $B.$ Найти геометрическое место точек $C$ таких, что верно равенство

$$\tg\frac{\angle CAB}2\tg\frac{\angle ABC}2=\frac1{2019}\,.$$

А.В. Акопян (IST, Австрия), И.В. Изместьев (Унив. Фрибурга, Швейцария)

[wrest]

(Ответ без решения)

SiberianSemion
Похоже, что это эллипс с фокусами в данных точках $A$ и $B$.
Но вот прям на раз-два не выходит.

Ясно, что если бы были не половины углов, то эллипс как раз виден прям сразу (с вершинами в данных точках $A$ и $B$).
Возможно, удвоение углов и нахождение их пересечения даёт какой-то известный эллипс "вокруг данного", но я не знаю как он называется.

[12d3]

$$ \dfrac{AC+BC}{AB} = \dfrac{\sin\alpha+\sin\beta}{\sin\gamma} = \dfrac{\sin\alpha+\sin\beta}{\sin\left(\alpha + \beta\right)} = \left[\text{нудные преобразования опущены}\right] = \dfrac{1+\tg\dfrac{\alpha}{2}\tg\dfrac{\beta}{2}}{1-\tg\dfrac{\alpha}{2}\tg\dfrac{\beta}{2}} = \dfrac{1010}{1009}$$

Вот и эллипс получился.

[wrest]

А я думал зайти через заднюю дверь и доказывать что
1. Проводим из любой точки на эллипсе два отрезка к вершинам, тогда произведение тангенсов углов между осью и отрезками - константа.
Или
2. Проводим из любой точки эллипса два радиуса (т.е. отрезки к фокусам), тогда произведение тангенсов половинных углов между радиусами и осью - константа.

Ну и константа как-то соотносится с эксцентриситетом, очевидно (зависит только от него).