Конформное отображение многоугольников

[Diana_A]

Пусть $C$ - окружность единичного радиуса с центром в начале координат на комплексной плоскости.

Пусть $N$ - натуральное число, $N\geq 4$; $\,\,\,$ $n$ - натуральное число, $1<n<N$.

Пусть $P$ - правильный $N$-угольник с вершинами на окружности $C$.

Очевидно, что без ограничения общности можно считать, что его вершины $z_k$ $\,\,\,$ ($k=\overline{0, N-1}$) - комплексные корни $N$-й степени из единицы, т.е. $z_k=\exp(\frac{2\pi k}{N}i)$, $\,\,\,$ $k=\overline{0, N-1}$.

Рассмотрим теперь плоский "подмногоугольник" (не обязательно правильный) с $n$ вершинами в точках $z_{k_0}, z_{k_1}, \ldots, z_{k_{n-1}}$.
Множество таких плоских $n$-угольников обозначим через $\mathcal{M}$.

Можно ли выписать общий вид конформного отображения, переводящего какой-либо фиксированный $n$-угольник из $\mathcal{M}$ на другой $n$-угольник из $\mathcal{M}$?
Я имею в виду "точное аналитическое" решение данной задачи в "конечном" виде, без использования промежуточного отображения на единичный круг или верхнюю полуплоскость.

Ясно, что достаточно найти общий вид конформного отображения, переводящего конкретный (например, правильный) $n$-угольник из $\mathcal{M}$ на любой другой $n$-угольник из $\mathcal{M}$.

Дайте, пожалуйста, ссылки на литературу, если это отражено в книгах.

[пианист]

А чем не подходит использование (дважды, туда-обратно) формулы Кристоффеля-Шварца?
Вам принципиально, каким путем результат получен?