Задача Брина-деда

[Booker48]

Фрагмент из фрагмента воспоминаний Израиля Абрамовича Брина, деда Сергея Брина. Относится к 1944 году.

И.А.Брин писал(а):

В МЭИ завкафедрой Высшей математики был Левин Виктор Иосифович. До этого он преподавал в Калькуттском университете.
Я пришел, и он говорит: "Партию в шахматы сыграем?". Я говорю: "Сыграем". Сыграли несколько партий, я их все выиграл. "Ну ладно, еще один вопрос. Если у меня кусочек кривой второго порядка, как вы узнаете: гипербола это или парабола?". Я объяснил. "Все, годитесь" – и взял меня ассистентом.

Расширю немного. Как отличить по идеально нарисованному небольшому куску кривой 2-го порядка окружность, эллипс, гиперболу и параболу?

Очевидно (мне) только для окружности. Строим три хорды, серединные перпендикуляры из них пересекаются в одной точке.

Для остальных меня так и тянет задать систему координат. Но чую, это ересь.

[Dmitriy40]

Можно наверное воспользоваться свойствами фокусов кривых. Кажется будет достаточно построить ход 3-4 несимметричных лучей.

[Pphantom]

Booker48 в сообщении #1412598 писал(а):

Очевидно (мне) только для окружности. Строим три хорды, серединные перпендикуляры из них пересекаются в одной точке.

Для других конических сечений можно действовать примерно тем же образом. Например, построить две касательные в произвольных точках участка кривой, найти точку их пересечения, найти середины отрезков касательных (от точек касания до точки пересечения) и соединить их. Если полученный отрезок касается кривой - это парабола, если нет - нет.

[Booker48]

Dmitriy40
Не понял, признаться. Положение фокусов и осей неизвестно. Как строить ход лучей на куске кривой, и что это даст? Буду думать.

Pphantom в сообщении #1412604 писал(а):

Например, построить две касательные в произвольных точках участка кривой, найти точку их пересечения, найти середины отрезков касательных (от точек касания до точки пересечения) и соединить их. Если полученный отрезок касается кривой - это парабола, если нет - нет.

Спасибо! Это решает задачу из процитированного фрагмента. В предположении, что касательную к кривой мы умеем строить, но без этого вообще ничего сделать нельзя.
Но можно ли отличить кусок эллипса от куска гиперболы с помощью хорд и касательных? Буду завтра думать. )))

[Dmitriy40]

Да, если ничего не известно, то с фокусами фокус не пройдёт пожалуй. Или будет слишком сложно.

[Pphantom]

Booker48 в сообщении #1412622 писал(а):

Но можно ли отличить кусок эллипса от куска гиперболы с помощью хорд и касательных? Буду завтра думать. )))

Можно, хотя эта задача в целом сложнее. Парабола - очень удобный выделенный случай.

[arseniiv]

Booker48 в сообщении #1412598 писал(а):

Для остальных меня так и тянет задать систему координат. Но чую, это ересь.

Почему? Представьте практическую модификацию задачи: кусок начерчен с какими-то погрешностями, нужно поточнее определиться с эксцентриситетом. Тогда будет весьма полезно взять координаты кучи точек и сообразить большую переопределённую систему и из неё найти то да сё да оценку ошибки. А синтетическими методами ещё надо понять как аналогичное устроить и не сильно умаяться притом.

[Pphantom]

arseniiv в сообщении #1412627 писал(а):

Представьте практическую модификацию задачи: кусок начерчен с какими-то погрешностями, нужно поточнее определиться с эксцентриситетом.

Тогда задача (в такой постановке) пропадет. В реальной жизни парабол не бывает, бывают только эллипсы и гиперболы.

[Null]

Строим 2 пары параллельных отрезков(в разных парах не параллельных) с концами на кривой. В каждой паре строим прямые через середины отрезков. Они пересекутся в центре конического сечения(или параллельны в случае параболы).

[wrest]

Booker48 в сообщении #1412598 писал(а):

Очевидно (мне) только для окружности. Строим три хорды, серединные перпендикуляры из них пересекаются в одной точке.

При удачном стечении обстоятельств так может быть и у эллипса.

[Mihr]

Pphantom в сообщении #1412628 писал(а):

В реальной жизни парабол не бывает

Тогда и окружностей - тоже?

[Pphantom]

Mihr в сообщении #1412640 писал(а):

Тогда и окружностей - тоже?

В общем-то да.

[Booker48]

wrest в сообщении #1412639 писал(а):

Booker48 в сообщении #1412598 писал(а):

... для окружности: строим три хорды, серединные перпендикуляры из них пересекаются в одной точке.

При удачном стечении обстоятельств так может быть и у эллипса.

Во избежание, строим четвёртую хорду, все четыре попарно непараллельны.

[wrest]

Booker48 в сообщении #1412669 писал(а):

Во избежание, строим четвёртую хорду, все четыре попарно непараллельны.

Неуверен...
Вот четыре непараллельных хорды, серединные перпендикуляры к которым пересекаются в одной точке.


Disclaimer: при большом увеличении они не пересекаются в одной точке, т.е. построены "на глаз", но похоже что этого таки можно добиться.

[matidiot]

С помощью параллельных лучей можно проверить на параболу. С помощью лучей точечного источника - на гиперболу. Методом исключения остается эллипс.