"О" большое и "о" малое

[oleg.k]

Помогите разобраться с о-нотацией. Вопросов у меня немало, поэтому начну задавать их в порядке приоритетов. Надеюсь по ходу разберусь с другими. Начну с "о" малого.

Википедия писал(а):

Пусть $f(x)$ и $g(x)$ - две функции, определенные в некоторой проколотой окрестности точки $x_0$, причем в этой окрестности $g$ не обращается в ноль. Говорят, что $f$ является "о" малым от $g$ при $x \to x_0$, если для любого $\varepsilon > 0$ найдется такая проколотая окрестность $U_{x_0}'$ точки $x_0$, что для всех $x \in U_{x_0}'$ имеет место неравенство $|f(x)| < \varepsilon |g(x)|$.

Зачем вводится ограничение определенные в некоторой проколотой окрестности точки $x_0$? Допустим, если у меня есть две функции, которые не определены в каждой точке любой проколотой окрестности некоторой точки, но я хочу сравнить их асимптотическое поведение при стремлении к этой точке. Рассмотрим функции $f(x) = x$ и $g(x) = x^3$, определенные на $\mathbb{I}$. Обе функции стремятся к нулю в нуле. В чем проблема считать для этих функций $g = o(f)$?

[iifat]

oleg.k в сообщении #1412464 писал(а):

определенные на $\mathbb{I}$

Определённые где?

oleg.k в сообщении #1412464 писал(а):

В чем проблема считать для этих функций $g = o(f)$?

А в чём, правда что, проблема?
Возможно, вы слишком многого хотите от определений. Вы хотите, чтоб определение было единственно возможным и всячески обоснованным. А это не всегда так. Простейший пример — натуральные числа начинаются с нуля или с единицы? У нас принято в единицы, на западе — с нуля. И чо? На обоих определениях можно построить вполне себе математические теории; во многих местах эти теории будут слегка различаться. Но это всё, право же, несущественно. Существенно — не путать определения и теоремы, не смешивать определение с теоремой из теории-близнеца.

[oleg.k]

iifat в сообщении #1412466 писал(а):

Определённые где?

На иррациональных числах.

iifat в сообщении #1412466 писал(а):

Возможно, вы слишком многого хотите от определений.

Чтобы от определения что-то хотеть, нужно его сначала нормально сформулировать То, которое я процитировал, содержит на мой взгляд слишком тяжелое ограничение. Может быть его можно немного подкорректировать?

[Sender]

oleg.k в сообщении #1412464 писал(а):

Допустим, если у меня есть две функции, которые не определены в каждой точке любой проколотой окрестности некоторой точки

Ну так почему бы не доопределить их для остальных точек?

[arseniiv]

oleg.k
Попробуйте другие уже готовые определения, по-моему это проще. После этого можете разбираться, насколько они эквивалентны.

-- Ср авг 28, 2019 19:51:58 --

Например см. Зорича (том 1, гл III Предел, §2 Предел функции, определения 22, 23).

[ewert]

oleg.k в сообщении #1412464 писал(а):

В чем проблема считать для этих функций $g = o(f)$?

Ни в чём. Но практически-то -- зачем? Какая от этого польза для сельского хозяйства?

Единственно полезная (и нужная) модификация -- рассмотрение этих функций на полуокрестности. Но для этого достаточно просто добавить замечание к основному определению, возня же с предельными точками и прочим вовсе ни к чему.

Sender в сообщении #1412480 писал(а):

Ну так почему бы не доопределить их для остальных точек?

Ну это-то невозможно.

[oleg.k]

Sender в сообщении #1412480 писал(а):

Ну так почему бы не доопределить их для остальных точек?

Потому что получатся другие функции А я хочу сравнивать те, которые есть. По крайней мере, когда они тривиально сравнимы, как те, которые я в стартовом посте обозначил.
А если и доопределять, то как? До непрерывности? А это всегда будет возможно? Upd. ewert опередил.

arseniiv в сообщении #1412485 писал(а):

oleg.k
Попробуйте другие уже готовые определения, по-моему это проще. После этого можете разбираться, насколько они эквивалентны.

Они не эквивалентны. Все на свой лад. У Фихтенгольца, например, сравниваются только бесконечно малые и бесконечно большие функции, стремящиеся к $+\infty$, определенные на одинаковых областях определения. Мне это тоже не нравится. У Зорича области определения сравниваемых функций не обязаны совпадать, как у Фихтенгольца, но он пишет

Зорич писал(а):

Эти функции могут даже иметь разные исходные области определения, но если мы интересуемся их асимптотическим поведением при базе $\mathfrak{B}$, то нам важно только, чтобы все они были определены на некотором элементе базы $\mathfrak{B}$.

Учитывая, что $x \to a$ у него обозначает базу проколотых окрестностей точки $a$, то для 2-ух моих функций из стартового поста тоже получается, что сравнение не определено.

ewert в сообщении #1412490 писал(а):

Но практически-то -- зачем? Какая от этого польза для сельского хозяйства?

Из соображений общности. Если смотреть на все с позиции сельского хозяйства, то и предел надо определять только для функций $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ (в одномерном анализе)

[ewert]

oleg.k в сообщении #1412497 писал(а):

У Зорича области определения сравниваемых функций не обязаны совпадать, как у Фихтенгольца, но он пишет

Зорич писал(а):

Эти функции могут даже иметь разные исходные области определения, но если мы интересуемся их асимптотическим поведением при базе $\mathfrak{B}$, то нам важно только, чтобы все они были определены на некотором элементе базы $\mathfrak{B}$.

Ну и зачем это может понадобится?... Допустим, есть последовательность $a_n=\frac{n}{1+n^3}$ и функция $f(x)=\frac1x$. По Зоричу последовательность есть о-маленькое от функции. Формально это верно (а почему бы и нет?), но по существу -- явное издевательство. Я уж не говорю о том, что получится при попытке сравнения $a_n=\frac{n}{1+n^2}$ и $f(x)=\frac1{x^2}$.

[arseniiv]

Ну кто говорит о сравнении последовательностей с функциями вещественной переменной, какой-нибудь пример областей определения $(-\infty; 1)$ и $(-1; +\infty)$ уже не настолько искусственный. И потом, мы можем выйти в пространство и т. п..

oleg.k в сообщении #1412497 писал(а):

Они не эквивалентны. Все на свой лад

Ну должны же они для какого-то множества пар функций сходиться. Иначе эти обозначения не были бы общеупотребительными.

[Sender]

ewert в сообщении #1412490 писал(а):

Ну это-то невозможно.

Хм, можете пояснить? Почему, скажем, мы не можем доопределить каждую из этих функций нулём в остальных точках окрестности?

[Geen]

Ну добавьте в определение слова про пересечение окрестности с областью определения и что области определения есть "подмножество в правильную сторону".
Определение станет в два раза длинее, в три раза менее понятно, и в четыре раза менее нужно...

[ewert]

arseniiv в сообщении #1412504 писал(а):

Ну кто говорит о сравнении последовательностей с функциями вещественной переменной

Последовательность -- это функция. Речь ведь шла о функциях с произвольными областями определения. Значит, в частности -- и о последовательностях.

Предельная точка взята бесконечной лишь для простоты записи. Легко всё это переписать и для конечной. И придумать что-нибудь совсем уж дикое. Скажем:

$$f(x)=\frac{x^2}{\cos^2\frac1x},\ x\neq\frac2{\pi+2\pi k};\ \ \ g(x)=x,\ x=\frac1{\pi n}.$$

Очевидно, $f(x)=o(g(x))$ при $x\to0$. И всё из-за того, что области определения произвольны.

[Xaositect]

Нет, по определению в Зориче такие функции не сравниваются, вторая функция не определена ни на одной проколотой окрестности нуля.

[ewert]

В связи с буковками "о" есть две других проблемы, уже содержательных. Пусть всё же речь о проколотых окрестностях, как у нормальных людей.

1. Традиционно символы $ и $ применяют к парам величин или одновременно бесконечно малым, или одновременно бесконечно большим. Это формально препятствует использованию таких принципиально важных значков, как $ и $. С другой стороны, если на функции изначально не накладывать никаких требований, то открывается возможность совершенно нелепых сравнений. К тому же и сами определения выглядят плохо мотивированными. Как быть?

На мой взгляд, лучше всё-таки придерживаться традиции, а про единички оговаривать отдельно.

2. Есть два стандартных определения для $f(x)=o(g(x))$:

$\frac{f(x)}{g(x)}\to0$; или

$f(x)=\alpha(x)\cdot g(x),\ \text{где}\ \alpha(x)\to0.$

Первый вариант подразумевает, что $g(x)\neq0$; соответственно, второй -- более общий. Тем не менее, мне первый нравится больше, т.к. с практической точки зрения это обобщение совершенно не значимо.

-- Чт авг 29, 2019 11:45:53 --

Xaositect в сообщении #1412648 писал(а):

Нет, по определению в Зориче такие функции не сравниваются, вторая функция не определена ни на одной проколотой окрестности нуля.

Первая, между прочим, тоже. Но если так, то зачем он вообще развёл ту бодягу про разные области определения?

[Xaositect]

Мне второе определение нравится больше, потому что его проще использовать - если есть формула, которую надо доказать или использовать, то можно подставить $\alpha(x) g(x)$ вместо $o(g(x))$ и все будет понятно. А что там надо на что делить, если у нас $2^{o(n)}$ или $n^{2 \log n + o(\log n)}$, это еще надо долго разбираться. Впрочем, в матане, наверное, такие вещи используются реже, чем в информатике.