Диффур, не имеющий порядка

[Ktina]

Функция

$$f \colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$

тождественно равна сумме всех своих производных натурального порядка (Апропо, а бывают ли производные нецелых порядков? Скажем, полуторная производная?)

Иными словами,

$$y=y'+y''+y'''+\dots$$

Как решать этот диффур?
Ясно, что уравнению удовлетворяет тождественный нуль, а также

$$y=Ce^{\frac{1}{2}x}$$

А есть ли ещё решения?
Как найти общее решение?
Пожалуйста, помогите решить.
Заранее благодарю!

[arseniiv]

По крайней мере если применить обычный метод решения линейных однородных ОДУ, он даёт этот ответ и всё. Остаётся лишь обосновать корректность метода.

Ktina в сообщении #1412394 писал(а):

удовлетворяет тождественный нуль

Про него для линейных однородных уравнений можно вообще не вспоминать, он всегда тривиальное решение. Хоть это и не совсем нормальное уравнение, линейная алгебра тут ещё работает.

[Xaositect]

arseniiv в сообщении #1412395 писал(а):

Остаётся лишь обосновать корректность метода.

Для чего надо подумать о дифференциальных операторах, а потом понять, что надо просто продифференцировать и вычесть.

[alcoholist]

Xaositect в сообщении #1412397 писал(а):

просто продифференцировать и вычесть

или проинтегрировать

$$ \int ydx=C+2y\Rightarrow y'=\frac{1}{2}y $$

Ktina в сообщении #1412394 писал(а):

а бывают ли

легко гуглится

[Ktina]

alcoholist в сообщении #1412400 писал(а):

легко гуглится

А ведь правда!
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D1 ... 0%B0%D1%8F

[jekyl]

Ха-х, получается случай, когда характеристическое уравнение имеет единственный корень. А если, например, взять

$$ \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{y^{(k)}}{(2k+1)!}=0, $$

то будет прогрессия на мнимой оси.

Где-то я всё уже это видел.

[pogulyat_vyshel]

Дубинский Задача Коши в комплексной области