2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 функциональное уравнение
Сообщение28.08.2008, 11:17 
Аватара пользователя
Найти все функции причем $x_1 > x_2$ то $f(x_1) > f(x_2)$ для всех $ x \in  R^{+}$ и
$f(x+1)-f(x)=e^{-x}\ \forall x\in R^{+}$

 
 
 
 
Сообщение28.08.2008, 12:41 
Аватара пользователя
Понятно, что функция $f$ полностью определяется своими значениями на полуинтервале $[0,1)$. Ну и зададим ее на нем произвольно (строго монотонно, судя по первой фразе). Дальше очевидно.

 
 
 
 
Сообщение28.08.2008, 13:49 
Аватара пользователя
Henrylee писал(а):
Понятно, что функция $f$ полностью определяется своими значениями на полуинтервале $[0,1)$. Ну и зададим ее на нем произвольно (строго монотонно, судя по первой фразе).


А с чего это она тогда будет монотонной на всём $\mathbb{R}^+$?

 
 
 
 
Сообщение28.08.2008, 13:52 
Аватара пользователя
Ну, не совсем произвольно. А то монотонность может сбиться на стыках, или (вот главное) на последующих отрезках.

Добавлено спустя 24 секунды:

Ох, совсем не произвольно.

Добавлено спустя 1 минуту 13 секунд:

Кроме ${e\over e-1}(1-e^{-x})$, хоть кто-то вообще годится?

 
 
 
 
Сообщение28.08.2008, 14:38 
Аватара пользователя
О! И действительно ведь совсем не произвольно :) Спасибо за указания на мои глюки, не проникся сперва.

 
 
 
 
Сообщение28.08.2008, 15:50 
А, по-мойму, подходит любая строго монотонно возрастающая функция, заданная на отрезке $(0,1]$ и удовлетворяющая неравенству: $f(1)\leq 1+f(0+)$.

 
 
 
 
Сообщение29.08.2008, 06:03 
Аватара пользователя
Mikhail Sokolov писал(а):
А, по-мойму, подходит любая строго монотонно возрастающая функция, заданная на отрезке $(0,1]$ и удовлетворяющая неравенству: $f(1)\leq 1+f(0+)$.


Вы сильно ошибаетесь.

 
 
 
 
Сообщение29.08.2008, 06:41 
Аватара пользователя
ИСН писал(а):

Кроме ${e\over e-1}(1-e^{-x})$, хоть кто-то вообще годится?

Вы оказались абсолютно правы, эта функция действительно единственна (с точностью до константы). На самом деле, из исходного уравнения следует, что для любого $x\geqslant 0$ и любого натурального $n$
$$
f(x+n)=f(x)+\frac{e}{e-1}e^{-x}(1-e^{-n}).
$$
Тогда $\forall x\geqslant 0$
$$
\exists\lim\limits_{n\to\infty}f(x+n)=C(x)=f(x)+\frac{e}{e-1}e^{-x}.
$$
Осталось, пользуясь монотонностью, показать, что $C(x)=$const.
Возьмем произвольные точки $x_1<x_2$. Начиная с некоторого $n$ будет выполняться $x_1+n>x_2$.
Тогда ввиду возрастания функции из $x_1+n<x_2+n<x_1+2n$ следует
$$
f(x_1+n)<f(x_2+n)<f(x_1+2n).
$$
Переходя к пределу по $n$, получим
$$
C(x_1)\leqslant C(x_2)\leqslant C(x_1),
$$
что означает $C(x)=C$. Ясно, что $C=f(0)+\frac{e}{e-1}$
В результате имеем
$$
f(x)=f(0)+\frac{e}{e-1}(1-e^{-x}).
$$

 
 
 
 
Сообщение29.08.2008, 10:57 
Красиво.

 
 
 
 
Сообщение29.08.2008, 12:07 
Аватара пользователя
ИСН писал(а):
А то монотонность может сбиться на стыках, или (вот главное) на последующих отрезках.


Кстати, почему? На каких стыках? $ x_1 > x_2$ то $f(x_1) > f(x_2) $ для всех$ x \in R^{+} $, разве это не означает строгой монотонности?

 
 
 
 
Сообщение29.08.2008, 12:11 
Аватара пользователя
ShMaxG писал(а):
ИСН писал(а):
А то монотонность может сбиться на стыках, или (вот главное) на последующих отрезках.


Кстати, почему? На каких стыках? $ x_1 > x_2$ то $f(x_1) > f(x_2) $ для всех$ x \in R^{+} $, разве это не означает строгой монотонности?

Да это было сказано про мой первый глючный пост :twisted:
Там все может быть.

 
 
 
 
Сообщение29.08.2008, 12:26 
Аватара пользователя
А, понятно.

 
 
 
 Re: найти все функции
Сообщение30.08.2008, 10:04 
Аватара пользователя
daogiauvang писал(а):
Найти все функции причем$ x_1 > x_2$  то $f(x_1) > f(x_2)  $для всех$ x \in  R^{+}  $и
$f(x+1)-f(x)=e^{-x}\ \forall x\in R^{+}$

по-моему есть вполне регулярный способ решения таких задач -- преобразование Лапласа

 
 
 
 Re: найти все функции
Сообщение01.09.2008, 06:03 
Аватара пользователя
zoo писал(а):
по-моему есть вполне регулярный способ решения таких задач -- преобразование Лапласа

Решение в студию! (обязательно пригодится кому-нибудь)

 
 
 
 
Сообщение01.09.2008, 10:24 
На самом деле любая функция на интервале [0,1), удовлетворяющая условию
$\forall 0\le y<x<1 \ \ f(x)-f(y)\ge \frac{e}{e-1}(e^{-y}-e^{-x})$ распространяется монотонным образом на всю положительную ось по формуле: $f(x)=f(\{x\})+\frac{e^{-\{x\}}-e^{-x}}{1-e^{-1}}$.

 
 
 [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group