Задача о плотнейшей упаковке на плоскости равновеликих эллип

[Lev_Liberant]

Доброго времени суток!
Как известно плотнейшая упаковка кругов на плоскости представляет собой гексагональную упаковку пчелиных сот. Плотность такой упаковки вычисляется по формуле

$$\frac{\pi}{2\times\sqrt 3}$$

что составляет чуть менее 91 процента.
Заменим теперь круги на равновеликие (с равной площадью) эллипсы. Очевидно, что сжимая или растягивая плоскость мы можем получитьту же плотность упаковки для эллипсов, что и для кругов. Проблема состоит в том -- можно ли используя все возможные без ограничений равновеликие эллипсы (у них будут разные эксцентриситеты) получить упаковку плотнее, чем плотнейшая упаковка равных кругов. Мое математическое чутье говорит, что нельзя, т.к. самая симметричная конфигурация, как правило и самая оптимальная. Но вот в третьем измерении, т.е. в нашем обычном трехмерном пространстве аналогичная задача с эллипсоидами решается с положительным результатом. Так что все может быть.
Математики, желаю Вам удачи при решении задачи.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Математика (общие вопросы)»

[Lev_Liberant]

Доброго времени суток, дорогие математики!!!
Я предложил задачку для двухмерного пространства, а вот аналогичная задача для трехмерного пространства решается до удивления просто. Мне повезло с образованием, у меня был в институте предмет "кристаллография", поэтому я вижу сетки, пустоты, каналы в структурах.
Плотнейшая упаковка шаров в пространстве бывает 2 типов -- гексагональная (ab) и кубическая (abc), про это подробно написано в википедии. В гексагональной упаковке октаэдрические пустоты типа "c" не заполнены, поэтому образуются узкие каналы бесконечной длины, в которые можно засунуть длинные и тонкие эллипсоиды, засорив таким образом эту кристаллическую канализацию
А вот на плоскости ничего подобного нет. Поэтому задача в 2D жутко тяжелая, а в 3D тянет максимум на школьную олимпиаду по математике.
Задача о плотнейшей упаковке кругов на плоскости была строго решена строго только в 20 веке известным венгерским математиком Ласло Фейеш Тотом.
Эта задача естественно еще труднее. Поэтому предлагаю в теме писать свои мысли о том, как можно хотя бы двигаться к решению, может кто-нибудь из уважаемых программистов попробует решить задачу с помощью программы компьютерной симуляции.
Большое спасибо, всего самого доброго, Лев Маркович

[ИСН]

Только сейчас дошло: Ваша совместная упаковка шаров и эллипсоидов одинакового объёма, если растянуть всё пространство подходящим образом, превращается в упаковку эллипсоидов одинаковой формы, которая плотнее плотнейшей шаровой. Я слышал, что такая известна, но не знаю, как её впервые получили - так или как-то ещё.
Что на плоскости что-то найдётся, не верю.