Равномерная непрерывность функции

[DeBill]

Otta в сообщении #1411511 писал(а):

Они не поломаются?

Студенты? Не...

[oleg.k]

DeBill в сообщении #1411508 писал(а):

Ну и прекрасно - будет у нас два новых определения. И чё? По жизни нужны то как раз Зоричевские...

Почему 2 новых? Будет просто 2 определения: непрерывность по множеству и равномерная непрерывность по множеству. Всякая функция $f: \mathbb{R} \supset E\to \mathbb{R}$, равномерно непрерывная по Зоричу, будет также равномерно непрерывна на множестве $E$ в смысле моего определения. Тоже самое и с обычной непрерывностью: всякая функция $f: \mathbb{R} \supset E\to \mathbb{R}$, непрерывная на множестве $E$ по Зоричу, будет непрерывна по множеству $E$ в смысле моего определения.

DeBill в сообщении #1411508 писал(а):

Я, например, когда это место студентам рассказываю, специально тыкаю ("не путайте с "непрерывна во всех точках множества $M$" в случае, когда область определения - ширше"; и предлагаю для этого случая - буде кому-нить захочется термин новый ввести

"Новый" термин не будет противоречить "старому", он его просто обобщит. Красота же получается

DeBill в сообщении #1411508 писал(а):

Потом это надоедает, и текст редуцируется до "непрерывна на отрезке - значит равномерно непрерывна на нем" где первая часть - уже в смысле ТС, а вторая (неявно) - в смысле Зорича...

Ну да, а потом этот условный студент привыкнет думать одну часть в моем смысле, а вторую часть в смысле Зорича и у него редуцироваться будет все подряд и как попало. Сначала студент привыкает использовать "непрерывна на отрезке - значит равномерно непрерывна на нем", ему становится привычно рассматривать равномерную непрерывность функции на каком-то собственном подмножестве области определения функции (т.е. в моем смысле). Но определение этой равномерной непрерывности он знает не "мое", а Зорича (которое в "моем" смысле понимать нельзя, но студент этого не помнит). И у него получится, например вот такая глупость: "Функция определена на отрезке и равномерно непрерывна на этом отрезке (по определению Зорича, которое он понимает в моем смысле), значит она непрерывна на этом отрезке".

[DeBill]

oleg.k в сообщении #1411600 писал(а):

"Новый" термин не будет противоречить "старому", он его просто обобщит. Красота же получается

Блин, опять за рыбу деньги...Ну как же обобщит, когда противоречит - и Вы сами это убедительно показали
ране....
До Вашего появления на форуме, все молчаливо соглашались (называется - понимание по умолчанию), что непрерывность функции на множестве - это непрерывность ее сужения на это множество, и всем все было ясно, и все было хорошо. Теперь пришли Вы, и впариваете нам, что неправильно мы понимаем эти слова. Да с фига ли, если это - определение??? Вам предлагают для Вашего понимания - ввести новый термин (да какой он новый, реально так и используется). Ан нет, Вам непременно надо общепринятое заменить на Ваше. Что за мания величия?

[DeBill]

На самом деле никаких проблем с использованием терминологии нет: обычно, имеет место и то, и другое, так что нет необходимости в уточнениях. В случаях же, когда возможна путаница, говорят, например, о непрерывности на множестве , уточняя: "по множеству" (и об этом уже писали выше).
Вообще, весь этот разговор - уже третья страница пошла - не по делу.
Математического содержания - нет. Все содержание состоит в том, как правильно понимать некую терминологию. И на таком уровне к общей точке зрения не прийти: одному нравится так, другим привычней иное. Смысла в переделке содержания устоявшейся терминологии лично я не вижу.

(Оффтоп)

Вот для ТС еще два глобальных вопроса: 0 - натуральное? 1 - простое? Тоже можно спорить до посинения...

И вообще, тема явно не в том разделе: помощь ТС явно не требуется, он прекрасно разбирается в предмете. Хотя: если термин "разобраться" понимать в агрессивном смысле, то - да....

-- 22.08.2019, 20:44 --

И - уж коль пошла такая пьянка: ТС-определение р-й непрерывности беднее З-определения (З - это Зорич). ТС-аналог З-определения (равносильный ТС-определению) следовало бы тоже поправить:
$f: E \to \mathbb{R}$ р-но непрерывна на $M \subset E$ означает:
$\forall \varepsilon > 0 ~~\exists \delta >0 ~~\forall x \in M ~~\forall y\in E ~~(\left\lvert x-y\right\rvert< \delta)~~ \Rightarrow~~ (\left\lvert f(x)- f(y)\right\rvert< \varepsilon).....$

[oleg.k]

DeBill в сообщении #1411624 писал(а):

Что за мания величия?

Ух... Чего вы так резко отреагировали?

DeBill в сообщении #1411624 писал(а):

До Вашего появления на форуме, все молчаливо соглашались (называется - понимание по умолчанию), что непрерывность функции на множестве - это непрерывность ее сужения на это множество, и всем все было ясно, и все было хорошо. Теперь пришли Вы, и впариваете нам, что неправильно мы понимаем эти слова. Да с фига ли, если это - определение???

Приведите пожалуйста хотя бы один источник, в котором прямо написано, что "функция $f: E\to \mathbb{R}$ непрерывна на множестве $M \subset E$ тогда и только тогда, когда сужение $f|_M$ функции $f$ на $M$ непрерывно в каждой точке множества $M$".


А я в свою очередь приведу вам цитату из учебника Камынина (Л.И.Камынин "Курс математического анализа", том 1, 2001 год, параграф 3, с.101)

Камынин писал(а):

Определение.Пусть $X \subset (-\infty, +\infty)$ и $M \subset X$. Функция $f(x)$, определенная на множестве $X$, называется непрерывной на подмножестве $M$ множества $X$ $(M\subset X)$, если она непрерывна в каждой точке множества $M$. Запись: $f \in C(M)$.

Upd. Нашел такой источник. Кудрявцев в трехтомнике вроде бы трактует также как и вы. В любом случае, я бы не сказал, что терминология такая уж устоявшаяся.

[DeBill]

oleg.k в сообщении #1411643 писал(а):

В любом случае, я бы не сказал, что терминология такая уж устоявшаяся.

Ну да, вообще то это так. Именно наличиеразночтений разнопониманий и вынуждает давать пояснения типа "непрерывна на ... (по множеству)" - для сужений, либо "т.е., во всех точках множества" - иначе. Так - есть.

[oleg.k]

DeBill в сообщении #1411712 писал(а):

Ну да, вообще то это так. Именно наличиеразночтений разнопониманий и вынуждает давать пояснения типа "непрерывна на ... (по множеству)" - для сужений, либо "т.е., во всех точках множества" - иначе. Так - есть.

Я предлагаю обойтись без пояснений и дать 4 конкретных определения, связанных с непрерывностью и равномерной непрерывностью, так чтобы никаких разночтений не возникало.

Определение непрерывности функции на множестве писал(а):

Имеем функцию $f: \mathbb{R} \supset E\to \mathbb{R}$. Функция $f$ непрерывна на множестве $M \subset E$ тогда и только тогда, когда эта функция $f$ (а не ее сужение $f|_M$ на $M$) непрерывна в каждой точке множества $M$.

Определение непрерывности функции по множеству писал(а):

Имеем функцию $f: \mathbb{R} \supset E\to \mathbb{R}$. Функция $f$ непрерывна по множеству $M \subset E$ тогда и только тогда, когда сужение $f|_M$ функции $f$ на $M$ непрерывно на множестве $M$.

Определение равномерной непрерывности функции на множестве писал(а):

Дана функция $f: \mathbb{R} \supset E\to \mathbb{R}$ и некоторое множество $M \subset E$. Функция $f$ называется равномерно непрерывной на множестве $M$ тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon > 0$ можно указать единую для всех точек $x \in M$ $\delta(\varepsilon)$-окрестность такую, что $(\forall x \in M) f[V_{\delta(\varepsilon)}(x)] \subset U_\varepsilon [f(x)]$.

Определение равномерной непрерывности функции по множеству писал(а):

Дана функция $f: \mathbb{R} \supset E\to \mathbb{R}$ и некоторое множество $M \subset E$. Функция $f$ называется равномерно непрерывной по множеству $M$ тогда и только тогда, когда сужение $f|_M$ функции $f$ на $M$ равномерно непрерывно на множестве $M$.

Вангую, кто-нибудь скажет "функция непрерывна в множестве" Пусть в будет означать то же, что и на. При таком подходе существующая терминология нарушена не будет: Кудрявцев везде пишет про сужения и использует предлог по, Камынин пишет про свойство самой функции и употребляет предлог на. У меня есть подозрение, что общепринятая терминология как раз таки в точности такая. Но студентам это не говорите. А то они совсем потеряют веру в анализ когда услышат: "Функция непрерывна на множестве $A$ по множеству $B$ на множестве $C$" (шутка)


Теперь про то, что получается с основными теоремами.
Дана функция $f: \mathbb{R} \supset E\to \mathbb{R}$ и некоторые множества $\varnothing \ne K \subset M \subset E$.
1. Если $f$ непрерывна на множестве $M$, то она непрерывна на множестве $K$.
2. Если $f$ непрерывна на множестве $M$, то она непрерывна по множеству $M$.
3. Если $f$ непрерывна по множеству $M$, то она не обязана быть непрерывной на множестве $M$.
4. Если $f$ равномерно непрерывна на множестве $M$, то она равномерно непрерывна на множестве $K$.
5. Если $f$ равномерно непрерывна на множестве $M$, то она равномерно непрерывна по множеству $M$.
6. Если $f$ равномерно непрерывна по множеству $M$, то она не обязана быть равномерно непрерывной на множестве $M$ ($f$ не обязана даже быть непрерывной на $E$)
7. Если $f$ непрерывна на множестве $E$ по Зоричу, то она непрерывна на множестве $E$ с т.з. определения выше.
8. Если $f$ равномерно непрерывна на множестве $E$ по Зоричу, то она равномерно непрерывна на множестве $E$ с т.з. определения выше.
9. Если $f$ непрерывна на $M = [a, b]$, то она равномерно непрерывна на $M$ (Кантор).
10. Если $f$ непрерывна по $M = [a, b]$, то она не обязана быть равномерно непрерывной на $M$, но обязана быть равномерно непрерывной по $M$ (не Кантор).

DeBill в сообщении #1411624 писал(а):

Блин, опять за рыбу деньги...Ну как же обобщит, когда противоречит - и Вы сами это убедительно показали ранеe....

Я имел в виду непрерывность на множестве, а вы имели в виду непрерывность по множеству. Вот и несостыковочка вышла. При таком подходе ничего обобщать не надо. Все и так обобщено.

DeBill в сообщении #1411640 писал(а):

И - уж коль пошла такая пьянка: ТС-определение р-й непрерывности беднее З-определения (З - это Зорич).

Как беднее то, если богаче? Приведите пример функции, равномерно непрерывной на множестве по Зоричу, но не являющейся равномерно непрерывной на этом множестве по моему определению. А вот наоборот я вам примеров приведу сколько угодно.

DeBill в сообщении #1411640 писал(а):

ТС-аналог З-определения (равносильный ТС-определению)...

Аналог не равносилен моему определению равномерной непрерывности. Я же об этом подробно написал...

oleg.k в сообщении #1411494 писал(а):

Если мы рассматриваем равномерную непрерывность функции с точки зрения "моего" определения, то аналог утверждения Зорича будет следствием "моего" определения. Но они не будут эквивалентны. Из аналога мое определение не следует. Пример - функция Дирихле. С точки зрения "моего" определения, функция Дирихле не является равномерно непрерывной на множестве $\mathbb{Q}$, но тем не менее содержательной части утверждения-аналога она удовлетворяет.

DeBill в сообщении #1411640 писал(а):

...следовало бы тоже поправить:
$f: E \to \mathbb{R}$ р-но непрерывна на $M \subset E$ означает:
$\forall \varepsilon > 0 ~~\exists \delta >0 ~~\forall x \in M ~~\forall y\in E ~~(\left\lvert x-y\right\rvert< \delta)~~ \Rightarrow~~ (\left\lvert f(x)- f(y)\right\rvert< \varepsilon).....$

Это уже Аналог 2. Который не равносилен аналогу 1. Выполняется Аналог 2.$\Rightarrow$ Аналог 1. но не наоборот. И самое смешное то, что ваш Аналог 2. равносилен моему определению равномерной непрерывности Ну теперь то ведь точно красота, не правда ли?

[ewert]

oleg.k в сообщении #1411643 писал(а):

А я в свою очередь приведу вам цитату из учебника Камынина (Л.И.Камынин "Курс математического анализа", том 1, 2001 год, параграф 3, с.101)

Камынин писал(а):

Определение.Пусть $X \subset (-\infty, +\infty)$ и $M \subset X$. Функция $f(x)$, определенная на множестве $X$, называется непрерывной на подмножестве $M$ множества $X$ $(M\subset X)$, если она непрерывна в каждой точке множества $M$. Запись: $f \in C(M)$.

Хотя всё это никого и давно уже не интересует, но не могу не заметить: определение -- крайне паршивое. Во-первых, оно просто не нужно (и этого достаточно). Но, во-вторых -- оно тупо двусмысленно. В каком смысле "непрерывна в каждой точке": непрерывна в рамках самого подмножества -- или по всей области определения?...

Впрочем, как пример бессмысленного словоблудия -- цитата хороша, спасибо.