размерности преобразования Фурье

[podalirius]

Не знаю куда лучше написать вопрос, вот решил сюда написать.

Не могу привести размерности в выражениях для преобразования Фурье.
Допустим есть сигнал $s(t)$ размерности вольт $[V]$ (русские буквы не поддерживает форум),
переменная $t$ это время в секундах $[s]$.
Тогда спектральная плотность $S(\omega)$, $\omega = 2\pi f$ - круговая частота $[rad/s]$ равна
$ S(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} s(t) e^{-j\omega t} dt $
имеет размерность (в предположении, что $e^{-j\omega t}$ безразмерная величина)
$ [V \cdot s]= \int_{-\infty}^{\infty} [V] e^{-j\omega t} [s] $

Тогда обратное преобразование Фурье
$ s(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} S(\omega) e^{j\omega t} d\omega $

вновь возвращает размерность сигнала $V$, если учесть, что нормировочный к-т $2\pi$ имеет размерность радиан, что собственно следует из определения круговой частоты $\omega = 2\pi f \ [rad / s]$ :

$ \frac{1}{[rad]}\int_{-\infty}^{\infty} [V \cdot s] e^{j\omega t} \left[ \frac{rad}{s}\right] = [V] $

Теперь к вопросу. Я проверил размерности свойств свертки, произведения сигналов и других и все они сходятся. Но вот есть два свойства размерности которых я не могу привести.
Это свойство производной сигнала и интеграла.

Пусть $a(t) = ds(t)/dt$ имеет размерность $[V/s]$. Тогда его преобразование Фурье $A(\omega)$ должно иметь размерность $\left[\frac{V}{s} \cdot s\right] = [V]$. Но из свойств преобразования Фурье следует, что:

$A(\omega) = j\omega S(\omega)$

Тогда при размерности $S(\omega)$ равной $[V\cdot s]$ получаем:
$\left[ j \frac{rad}{s} \cdot V \cdot s\right] = [j \cdot rad \cdot V ] \neq [V]$

И тут возникает коллизия, которую я не могу понять.
С одной стороны справедливость свойства $A(\omega) = j\omega S(\omega)$ не вызывает сомнения, но размерности никак не приводятся (остается размерность радиан, которая не сокращается). Аналогично не приводятся размерности свойства преобразованиея Фурье интеграла.

Может кто-то сталкивался и может помочь решить проблему?

[Xaositect]

Величина угла - это отношение равноразмерных величин (длины дуги вписанного угла к радиусу окружности), поэтому с точки зрения размерностей угол это берзазмерная величина, а радиан - это специальное название безразмерной единицы, применяемое только в отдельных случаях. Так же, как, например, единица Н/м^2 для измерения давления называется паскаль, а для измерения плотности энергии - джоуль на кубический метр, несмотря на равные размерности.
Кстати, это же видно в $e^{j \omega t}$ - брать экспоненту можно только от безразмерных величин.

-- Пн авг 19, 2019 09:16:19 --

То же самое будет, если Вы попытаетесь продифференцировать формулу координаты гармонического движения $x = A\cos(\omega t + \varphi)$ - вылезет лишний радиан.

[Munin]

Добавлю к замечанию Xaositect, что если вы по каким-то причинам измеряете $\omega$ в других угловых единицах (например, градус в секунду), то из-за этого придётся поправлять все формулы, в которых "размерность не сходится на радиан". Например, вместо $A(\omega)=j\omega S(\omega)$ придётся писать $A(\omega)=j\tfrac{2\pi}{360^\circ}\omega S(\omega),$ вместо $e^{j\omega t}$ - аналогично $e^{j(2\pi/360^\circ)\omega t},$ и так далее.

[podalirius]

Спасибо! Действительно радиан величина безразмерная! Вопрос закрыт!