Однородное уравнение 4 степени от 6 переменных

[vicvolf]

Дано однородное уравнение:
$x_1^4+x_2^4+x_3^4=y_1^4+y_2^4+y_3^4$. (1)

Если рассматривать более общее уравнение:
$x_1^k+...+x_s^k=y_1^k+...+y_s^k$, (2)

то количество натуральных решений уравнения (2) в гиперкубе со стороной $N$ определяется интегралом (см. стр.73 Р.Вон "Метод Харди-Литтлвуда", М. Мир, 1988, 184):

$R^{+}_{2s}= \int_0^1 {|f(x)|^{2s}}dx$. (3)

Используя (3) и Лемму Хуа (см. стр.20 Р.Вон "Метод Харди-Литтлвуда", М. Мир, 1988, 184) найти асимптотическую оценку сверху количества натуральных решений уравнения (1) в гиперкубе со стороной $N$?

Подсказка. Для решения задачи вид функции $f(x)$ знать не обязательно.

[vicvolf]

Напомню Лемму Хуа.

Справедлива следующая верхняя оценка для количества натуральных решений уравнения уравнения:

$x_1^k-y _1^k+x_2^k-y_2^k+…+x_{2^{j-1}}^{k}-y_{2^{j-1}}^{k}=0$,

в гиперкубе со стороной $N$:

$\int_{0}^{1} {|f(x)|^{2^j}dx} <<N^{2^j-j+\epsilon}$,

где $\epsilon$- малое действительное положительное число и $1 \leq j \leq k$.

Теперь учтем в (3), что любое четное число можно представить, как сумму степеней двоек с натуральными показателями:

$2s=2^{j_1}+…+2^{j_t}$.

Далее надо сделать еще один шаг и потом применить Лемму Хуа.

[vicvolf]

На основании (3) для количества натуральных решений для уравнения (1) получим:

$R_6^{+}= \int _o^1{|f(x)|^6}dx=\int_0^1 {|f(x)|^4|f(x)|^2dx \leq ...$. (4)

Далее в (4) надо использовать интегральное неравенство, чтобы применить Лемму Хуа

vicvolf в сообщении #1411188 писал(а):

$\int_{0}^{1} {|f(x)|^{2^j}dx} <<N^{2^j-j+\epsilon}$,

где $\epsilon$- малое действительное положительное число и $1 \leq j \leq k$.

[vicvolf]

Ну а теперь решение.

На основании (3) для количества натуральных решений уравнения (1) в гиперкубе со стороной $N$ получим:

$R_6^{+}= \int _o^1{|f(x)|^6}dx=\int_0^1 {|f(x)|^4|f(x)|^2dx$. (4)

Далее в (4) используем интегральное неравенство Коши-Буняковского:

$\int_0^1 {|f(x)|^4|f(x)|^2dx \leq (\int_o^1 {|f(x)|^8}dx)^{1/2}(\int_0^1 {|f(x)|^4}dx)^{1/2}$. (5)

Используем в (5) Лемму Хуа:

vicvolf в сообщении #1411188 писал(а):

$\int_{0}^{1} {|f(x)|^{2^j}dx} <<N^{2^j-j+\epsilon}$,

где $\epsilon$- малое действительное положительное число и $1 \leq j \leq k$.

получаем:

$\int _0^1 {|f(x)|^8}dx <<N^{2^3-3+\epsilon_1}=N^{5+\epsilon_1}$. (6) $j_1=3<4$

$\int _0^1 {|f(x)|^4}dx <<N^{2^2-2+\epsilon_2}=N^{2+\epsilon_2}$. (7) $j_2=2<4$

Подставим в (5) выражения (6), (7) получим окончательно:

$R_6^{+}=\int_0^1 {|f(x)|^6 } dx <<(N^{5+\epsilon_1})^{1/2}(N^{2+\epsilon_2})^{1/2}=N^{3,5+\epsilon}$. (8)

Метод Харди-Литтлвуда можно использовать для однородного уравнения (2) при $2s>2^k$ или $s>2^{k-1}$. Для уравнения (1) $k=4$, поэтому при $s>8$.
В нашем случае $s=6$ и поэтому использовать метод Харди-Литтлвуда нельзя, а указанный метод, основанный на Лемме Хуа и интегральном неравенстве, использовать можно.

[vicvolf]

Для оценки точности (8) добавлю, что асимптотическая оценка снизу количества натуральных решений уравнения (1) в гиперкубе со стороной $N$: $R_6^{+}>>N^3$. (9)

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1412159 писал(а):

Метод Харди-Литтлвуда можно использовать для однородного уравнения (2) при $2s>2^k$ или $s>2^{k-1}$.

Докажите, пожалуйста, что в этом случае для однородного уравнения (2) справедлива следующая асимптотическая оценка сверху для количества натуральных решений в гиперкубе со стороной $N$:

$\int_{0}^1{|f(x)|^{2s} dx}<< N^{2s-k+\epsilon}$. (10)