Что необходимо знать, чтобы изучить теорию модулярных форм?

[Pulseofmalstrem]

Добрый день, мне очень хочется изучить теорию модулярных форм и их приложений к разным вопросам математики. На настоящий момент я довольно разбираюсь в теории функций комплексного переменного (аналитические продолжения, ветви, степенные ряды и тому-подобное), имею представление о теории групп (знаю определения, некоторые ключевые теоремы вроде теоремы Лагранжа и теоремы о гомоморфизме, но имею трудности в том, что плохо знаю конкретные примеры), ну там дальше обычный набор бакалавриата из МФТИ: интегралы, анализ, линейка, немного колец и полей, топологии.
Можете посоветовать какую-нибудь хорошую литературу по теме и отметить, что следовало бы изучить еще сверх того, что уже есть?

[Munin]

http://verbit.ru/Job/HSE/Curriculum/all.txt читали? Если да, то перечислите, пожалуйста, какие пункты из списка

(Оффтоп)

Цитата:

Первый семестр:
1. Метрическая геометрия и топология
2. Основные понятия алгебры и линейная алгебра
3. Анализ: ряды, пределы, гладкие функции одной переменной.
4. Основные понятия математики и теория множеств (один модуль) / Комбинаторика (один модуль).

Второй семестр:
1. Линейная алгебра (Жорданова нормальная форма, эрмитовы пространства и нормальные формы) (один модуль).
2. Теория меры (один модуль: объемы многогранников, булевы алгебры, сигма-алгебры, конструкция меры Лебега).
3. Общая топология, фундаментальная группа, накрытия.
4. Алгебра: представления конечных групп и теория Галуа.
5. Анализ: анализ на $\mathbb{R}^n$ и определение многообразия

Третий семестр:
1. Анализ на многообразиях.
2. Теория чисел и начала коммутативной алгебры.
3. Теория меры и основы функционального анализа.
4. Алгебры Ли (один модуль). Дифференциальные уравнения (один модуль).

Четвертый семестр:
1. Комплексный анализ.
2. Алгебраическая топология.
3. Основы дифференциальной геометрии (римановы многообразия, связность, кривизна).
4. Группы и алгебры Ли.

(с расшифровкой ниже по тексту: например, в "топологии" вводятся категории) вы ещё не имеете?

[Pulseofmalstrem]

Munin
Ну, давайте посмотрим. Вот, что я читал/проходил и в чем я уверенно ориентируюсь:

1. Метрическая геометрия и топология. Здесь я читал несколько разных книг по общей топологии, понимаю за открытые, замкнутые множества, знаю про гомеоморфизмы, знаю о том, что такое пополнение, могу находить пределы и так далее, вроде бы проблем быть не должно.

2. В алгебре знаю линейную алгебру конечномерных пространств весьма хорошо, знаю теорию колец и полей, немного начинал изучать теорию Галуа, знаю базовые понятия теории групп.

3. Анализ - само собой.

4. Жорданову форму матрицы знаю, эрмитовы пространства знаю что такое, более менее, но особо много с ними не работал, если по честному.

5. Вот, теория меры - это большой проблем, я знаю только меру Жордана и интеграл Римана, а вот с мерой Лебега и его интегралом все сложно (у нас в институте не читали, а сам я особо не читал).

6. Фундаментальную группу знаю, некоторый объем общей топологии тоже мне известен.

7. Теория Галуа и предтавления конечных групп - начинал и то, и другое, но не закончил до конца.

8. Если под многомерным анализом понимается всякие формулы типа Остроградского-Гаусса и тому-подобное - то это в пределе 3 измерений знаю хорошо, а для произвольного числа измерений - тут дело ограничивается тем, что я пару раз прочитал учебник Рашевского по тензорному анализу и запомнил основные принципы.

9. Теория меры - минус.

10. Алгебры Ли - тоже минус.

11. Комплексный анализ - это мы знаем.

12. Алгебраическая топология - знаем, что такое гомотопическая группа, и что такое гомология, но не разбираемся.

13. Дифференциальную геометрию - пару раз читал Рашевского в контексте мат. аппарато ОТО, но многое забыл.

14. Группы и алгебры Ли - не знаю от слова совсем.

Итого, с точки зрения Вербицкого - я полное дно: алгебры Ли не знаю, теорию меры не знаю, дифференциальную геометрию - знаю так себе.

[Munin]

Боюсь, что координатный тензорный анализ "в стиле Рашевского" - это не совсем то. Там используется другой язык: пучки, кольца функций, расслоения, когомологии.

Ещё, как я поверхностно понял, понадобятся алгебраическая геометрия и теория чисел. (В конце приведённой ссылки есть списки литературы по этим разделам.) С ними у вас как?

Насколько нужны конкретно теория меры и дифференциальная геометрия - тут я не уверен. (И про функциональный анализ есть сомнения.)

[Brukvalub]

Если слепо верить вот этим "советам":

Munin в сообщении #1410969 писал(а):

Ещё, как я поверхностно понял, понадобятся алгебраическая геометрия и теория чисел. (В конце приведённой ссылки есть списки литературы по этим разделам.) С ними у вас как?

Насколько нужны конкретно теория меры и дифференциальная геометрия - тут я не уверен. (И про функциональный анализ есть сомнения.)

то к изучению модулярных форм удастся приступить лет эдак через 10.
На самом деле, я бы делал все иначе.
1. Есть переведенная брошюра из 132 стр. П Сарнака Модулярные формы и их приложения, вот прямо, ни к чему заранее не готовясь, можно и начинать ее читать. По мере появления непонятных мест нужно отвлекаться на учебники по тем разделам математики, которые использует Сарнак, чтобы продвигаться по его брошюре.
Еще можно читать монографию С. Ленг Введение в теорию модулярных форм, есть также старая основательная монография Г. Шимура Введение в арифметическую теорию автоморфных функций, я ее прорабатывал, но шла она непросто.
Можно также затем почитать гл. 14 недавно переведенной монографии Х. Иванец Э ковальский Аналитическая теория чисел.
Что действительно неплохо почитать параллельно с изучением модулярных форм, так это учебники по фуксовым и клейновым группам и римановым поверхностям. Например, С.Б. Каток Фуксовы группы, А. Бердон Геометрия дискретных групп, по римановым поверхностям есть просто море англоязычной литературы, но можно начать с великолепной переведенной у нас монографии О.Форстер Римановы поверхности, неплохо читается и 2-я часть брошюры В.В. Прасолов, О.В. Шварцман Азбука римановых поверхностей.
В одном я уверен точно: чтобы что-то выучить, нужно сразу начинать это что-то учить и по мере продвижения ликвидировать в разумных пределах пробелы по смежным областям. Если же долго и мучительно готовиться к изучению намеченного, то до самого намеченного дело, как правило, уже не доходит.

[Munin]

Я пока не давал никаких советов.

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1411083 писал(а):

Я пока не давал никаких советов.

Выходит, вы просто от скуки начали выспрашивать, что ТС знает из программы Вербицкого, затем сообщили:

Munin в сообщении #1410969 писал(а):

Ещё, как я поверхностно понял, понадобятся алгебраическая геометрия и теория чисел. (В конце приведённой ссылки есть списки литературы по этим разделам.) С ними у вас как?

Это был праздный интерес в ответ на вопрос ТС:

Pulseofmalstrem в сообщении #1410951 писал(а):

Можете посоветовать какую-нибудь хорошую литературу по теме и отметить, что следовало бы изучить еще сверх того, что уже есть?

?
И как вы "поверхностно поняли", что "понадобятся алгебраическая геометрия и теория чисел"?

[Pulseofmalstrem]

Brukvalub
Скажу честно, сколько раз я не пытался прикоснуться к этим так называемым высоким материям, вроде коммутативной алгебры, теории гомологий, пучков и прочему из этой оперы - я всегда напарывался на изложение столь изобилующая всякими абстрактными объектами, что у меня создавалось впечатление, будто я изучаю не столько математику, сколько набор символов из которых потом можно складывать математику (то есть, что я изучаю язык, а не то, для чего он собственно говоря создан). Такое огромное количество аксиоматических постулированный (порой совершенно не очевидных) вообще вымывает всякое содержание и читать такие тексты крайне трудно (о нет, я кажется я забыл какие аксиомы автор заложил под это слово, ведь я не знаю какой "практический" объект скрывался за ними, а потому остается тупо запоминать, а в задачах и док-вах тупо опираться на аксиомы и формальный вывод). Лично у меня реальный прогресс намечался всегда, когда я находил изложение того или иного предмета, опирающееся на нечто конкретное. Например, идею гомологии я понял не из аксиоматического определения, а из прямого построения этих групп для клеточных комплексов (особенно наглядно в самом простом случае для графа). Поэтому программа Вербицкого мне никогда особо не заходила - это алгебраизм головного мозга.
Хотя может быть - это я просто чего-то не доучиваю.

[Brukvalub]

Pulseofmalstrem, не нужно думать, что с вами что-то не так. Я в своей жизни встречал немало талантливых профессиональных математиков, которым тоже не нравится заниматься совсем уж абстрактными областями математики, в которых изучаемые объекты слабо связаны с реальной жизнью.
Тем не менее, попробуйте следовать намеченному мной для Вас плану, модулярные формы не так уж сильно абстрактны. Возможно, у Вас получится разобраться в их теории.

[Pulseofmalstrem]

Brukvalub
Можно еще в догонку спросить какую-нибудь литературу по гипотезе Римана, что-то вроде обзора уже существующих идей.

[Brukvalub]

Я ни в коем случае не специалист по аналитической теории чисел, но даже мне понятно, что вряд ли кто-то будет писАть обзоры типа: "Идеи, которые не привели к доказательству гипотезы Римана". Каким образом автор подобного обзора может узнать список таких идей? Ведь математики не публикуют статей типа:"Сто моих неудачных попыток доказать гипотезу Римана".