Предел разности сумм

[staric]

Последовательность задана рекуррентно:
$a_{n+1}=2a_n+a_{n-1}, a_0=0, a_1=1 $
Верно ли, что для любого натурального $k$ предел $\lim\limits_{n\to \infty}^{} \{\sum_{i=a_n ^2}^{a^2_{n+k}} (\sqrt{2i+1}-\sqrt{2i}) - \sum_{i=n}^{n+k-1}a_n\}$ существует?

[ewert]

При любых целочисленных начальных условиях последовательность $a_n$ есть сумма двух геометрических прогрессий -- возрастающей и убывающей. Причём если начальные условия неотрицательны, то и возрастающая прогрессия тоже (здесь это существенно). Первую сумму можно рассматривать как интегральную -- она равна (с точностью до бесконечно малой поправки) $\int\limits_{a_n^2}^{a_{n+k}^2}\frac{dx}{2\sqrt{2x}}=\frac1{\sqrt2}(a_{n+k}-a_n)$. Во второй же сумме если заменить $a_i$ на $b_i=c\,q^i$, то полученная сумма будет равна $c(\frac{q^{n+k}-1}{q-1}-\frac{q^n-1}{q-1})=\frac1{q-1}(b_{n+k}-b_n)$. Поскольку $a_i$ и $b_i$ различаются на бесконечно малую геометрическую прогрессию, то и исходная вторая сумма отличается от $\frac1{q-1}(a_{n+k}-a_n)$ на бесконечно малую. Остаётся заметить, что для данного разностного уравнения $q=1+\sqrt2$, т.е. разность между двумя исходными суммами стремится просто к нулю.