Интеграл функции x^q * exp(b*x)

[madschumacher]

Добрый день.

Я хочу посчитать отношение двух определённых интегралов $\frac{I}{N} = \frac{\int \limits_{0}^{X} x^q \exp(\beta x) dx}{\int \limits_{0}^{X} x^{q-1} \exp(\beta x) dx}$, где $X>0$, $q>0$, а $\beta \in \mathbb{R}$. Очевидно, это отношение должно быть положительным. Допустим, частный случай $\beta=0$, когда $\frac{I}{N} = \frac{q-1}{q}X$, мы не рассматриваем, т.е. $\beta \neq 0$.
Тогда я записываю $\frac{\partial I}{\partial x} = 0 = q\cdot N + \beta I$, откуда получаю отношение $\frac{I}{N} = - \frac{q}{\beta}$. В случае $\beta <0 $ всё хорошо, но случай $\beta>0$, очевидно, даёт отрицательные значения, что не согласуется с ожиданием. Что я делаю не так?

[Евгений Машеров]

А что есть Е?

[madschumacher]

Евгений Машеров в сообщении #1410304 писал(а):

А что есть Е?

упс, это был $x$ в моих внутренних обозначениях. Исправил.

[nnosipov]

А параметр $q$ каким числом является?

[madschumacher]

nnosipov в сообщении #1410306 писал(а):

А параметр $q$ каким числом является?

$q \in \mathbb{R}, q>0$, не обязательно натуральным.

[nnosipov]

madschumacher в сообщении #1410302 писал(а):

Тогда я записываю $\frac{\partial I}{\partial x} = 0 = q\cdot N + \beta I$

Что за волшебная формула? $x$ --- это же переменная интегрирования. Дифференцировать по $x$ интеграл, взятый тоже по $x$ --- это как? Интеграл можно дифференцировать по параметру (по $q$, например), но вот по переменной интегрирования ...

[Евгений Машеров]

А почему производная от I по икс равна нулю? По переменной интегрирования нельзя, она "внутри", а если икс это $X$, верхний предел - то ноль точно не будет...

[madschumacher]

nnosipov в сообщении #1410308 писал(а):

Что за волшебная формула?

т.е. такая магия не работает?
А есть ли какой-то простой способ это соотношение посчитать? Т.к. $\frac{\partial N}{\partial \beta} = I$ не дает ничего конкретного, а при дифференцировании по $q$ вообще страх вылезает...

[pogulyat_vyshel]

один интеграл выражается через другой банальным интегрированием по частям, и это ,вообще говоря, все. Интегралы вычисляться аналитически не обязаны

[nnosipov]

madschumacher в сообщении #1410310 писал(а):

А есть ли какой-то простой способ это соотношение посчитать?

Не знаю, думать надо. При $\beta<0$ неполную гамма-функцию привлечь можно. Можно попробовать числитель проинтегрировать по частям (чтобы потом упростить дробь). Maple такие интегралы не берет.

Да, при целых $q$ интегралы считаются (в виде каких-то многочленов от $X$, умноженных на экспоненту). От $\beta$ лучше избавиться заменой переменной.

[thething]

madschumacher
Попробуйте после дифференцирования по бета применить интегрирования по частям.

[Евгений Машеров]

Делаете замену переменных, получаете неполную гамма-функцию.
https://en.wikipedia.org/wiki/Incomplete_gamma_function

[madschumacher]

thething в сообщении #1410313 писал(а):

Попробуйте после дифференцирования по бета применить интегрирования по частям.

Получаю дифференциальное уравнение $\frac{dN}{d\beta} = -\frac{qN}{\beta} + \frac{X^q \exp(\beta X)}{\beta}$, а эту неоднородность я не знаю как проинтегрировать (не встечал таких крокодилов)...

-- 14.08.2019, 11:23 --

Евгений Машеров в сообщении #1410314 писал(а):

Делаете замену переменных, получаете неполную гамма-функцию.

Оох... спасибо, а то я удивлялся, что за крокозябру мне wxMaxima выкидывала...

-- 14.08.2019, 11:24 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1410311 писал(а):

Интегралы вычисляться аналитически не обязаны

Да я понимаю, что не обязаны. Но уж больно просто смотрится, тем более, что интересует не интеграл, а их отношение.

[alcoholist]

madschumacher
как заметил pogulyat_vyshel, отношение выражается через один из интегралов

$$ \frac{I}{N}=-\frac{q}{\beta}+\frac{X^qe^{\beta X}}{\beta N}. $$

И ничего тут не поделать.

[madschumacher]

alcoholist в сообщении #1410320 писал(а):

И ничего тут не поделать.

Ээх. Спасибо.
Спасибо большое всем за разъяснение.