три вектора лежат в полуплоскости

[alcoholist]

Наверное, в другой раздел надо было, но уж поместил.

Для любых двух векторов $u,v$ на евклидовой плоскости определим третий вектор равенством

$$ n_{u,v}=\left\{\begin{array}{ll} u,&(u,v)>u^2\\ v,&(u,v)>v^2\\ w,&\text{\rm otherwise}\end{array}\right., $$

где $w$ -- вектор, с концом в основании высоты $OH$ треугольника, построенного на $u,v$.

Задача. Пусть три вектора лежат в полуплоскости (например, их ординаты строго положительны). Показать, что их можно так наименовать $a,b,c$, что выполняется неравенство $(n_{a,b},c)\ge n_{a,b}^2$.

Есть ли короткое изящное решение?

У меня получилось только "в лоб". Рассмотрим два вектора $u,v$ (для определенности $|u|\le |v|$) и третий вектор $p$, лежащий с ними в одной полуплоскости, для которого выполняется $(n_{u,v},p)<n_{u,v}^2$.
а) В случае $n_{u,v}=u$ и $n_{u,v}^2>(n_{u,v},p)$ выполнено $n_{u,p}^2\le (n_{u,p},v)$, то есть $c=v$.
б) В остальных случаях: если перпендикуляр к вектору $p$, проходящий через его конец, не пересекает векторов $u,v$, то в качестве вектора $c$ надо взять тот вектор из тройки $\{u,v,p\}$, который лежит между двумя другими; если перпендикуляр к вектору $p$, проходящий через его конец, пересекает один из векторов $\{u,v\}$, то в качестве вектора $c$ надо взять его (если пересекает оба, тогда любой, т.к. $n_{u,p}=n_{v,p}=p$).

Можно мысленно вращать вектор $p$ на картинке, меняя его длину. В случае $(u,v)>u^2$ как раз понадобится п.а).

[Aritaborian]

(Ну не могу удержаться)

Заголовок топика звучит как начало анекдота. «Лежат три вектора в полуплоскости. И один другому говорит...». Дальше не придумал пока.

[scwec]

(Оффтоп)

Aritaborian, начало бывшего в ходу анекдота звучит так: лежат в канаве Кочин, Кибель и Розе...

[nnosipov]

alcoholist в сообщении #1410265 писал(а):

У меня получилось только "в лоб".

Ну, я бы тоже начал рассуждать прямолинейно. (Вот буквально сейчас хотел попробовать, но Вы уже свое решение написали.) А эта конструкция $n_{u,v}$ имеет какой-нибудь смысл (где-нибудь встречается)?

[alcoholist]

nnosipov в сообщении #1410301 писал(а):

А эта конструкция $n_{u,v}$ имеет какой-нибудь смысл (где-нибудь встречается)?

я встретил в ЛП

[nnosipov]

alcoholist в сообщении #1410316 писал(а):

ЛП

Линейное программирование?

[alcoholist]

nnosipov
да... видно же "многогранники")

[nnosipov]

alcoholist
Спасибо, понял.

[Munin]

alcoholist в сообщении #1410265 писал(а):

Для любых двух векторов $u,v$ на евклидовой плоскости определим третий вектор равенством

$$ n_{u,v}=\left\{\begin{array}{ll} u,&(u,v)>u^2\\ v,&(u,v)>v^2\\ w,&\text{\rm otherwise}\end{array}\right., $$

где $w$ -- вектор, с концом в основании высоты $OH$ треугольника, построенного на $u,v$.

Немного подумав, формулируем геометрический смысл этого $\vec{n}_{\vec{u},\vec{v}}.$ Это вектор, проведённый к точке отрезка $[\vec{u},\vec{v}\,],$ ближайшей к началу координат.

alcoholist в сообщении #1410265 писал(а):

Задача. Пусть три вектора лежат в полуплоскости (например, их ординаты строго положительны). Показать, что их можно так наименовать $a,b,c$, что выполняется неравенство $(n_{a,b},c)\ge n_{a,b}^2$.
Есть ли короткое изящное решение?

Смысл неравенства типа $(\vec{u},\vec{v}\,)>\vec{u}\,^2$ в том, что мы проводим через конец вектора $\vec{u}$ перпендикулярную прямую (плоскость), и конец вектора $\vec{v}$ должен зайти за эту плоскость - быть дальше этой плоскости от начала координат.

Теперь очевидно, что можно в качестве $\vec{c}$ выбрать просто точку, самую дальнюю от начала координат.

(Условие полуплоскости означает, что начало координат не лежит внутри треугольника $[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\,].$)

[pogulyat_vyshel]

(Оффтоп)

scwec в сообщении #1410272 писал(а):

анекдота звучит так: лежат в канаве Кочин, Кибель и Розе...

это интересно, и?

[Aritaborian]

(Оффтоп)

Это уже само по себе законченный вполне смешной анекдот. Хотя, если существует продолжение, хотелось бы услышать.

[scwec]

(Оффтоп)

Если интересно, то дальше идут выразительные реплики лежащих по отношению к ударным волнам в канализационных трубах.

[Aritaborian]

(Оффтоп)

scwec, большое спасибо.

[alcoholist]

Munin в сообщении #1410358 писал(а):

Смысл неравенства типа $(\vec{u},\vec{v}\,)>\vec{u}\,^2$ в том, что мы проводим через конец вектора $\vec{u}$ перпендикулярную прямую (плоскость), и конец вектора $\vec{v}$ должен зайти за эту плоскость - быть дальше этой плоскости от начала координат.

Теперь очевидно, что можно в качестве $\vec{c}$ выбрать просто точку, самую дальнюю от начала координат.

Вот имеются три вектора $u,v,p$. Вы утверждаете, что в качестве $c$ всегда можно взять самый длинный?

[Munin]

А, нет. Вы правы, это я поспешил. Но сама задача выглядит просто: всегда из трёх прямых найдётся такая, что две точки (одна из данных и начало координат) окажутся от неё по разные стороны.