Симметрические многочлены.

[ArshakA]

По основной теореме теории симметрических многочленов все симметрические многочлены трех переменных выражаются через $u = x + y + z, v = xy + yz + zx$ и $w = xyz$.

Мне интересно, что происходит с этим базисом под действием гомоморфизма $\alpha$ переводящего $f(x, y, z)$ в $f(x^n, y^n, z^n)$.

Я посчитал для $n = 2$ :

$u^2 - 2v = x^2 + y^2 + z^2 = \alpha(u)$

$v^2 - 2vw = x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 = \alpha(v)$

$w^2 = x^2y^2z^2 = \alpha(w)$

И начал считать для трех ($\alpha(u) = u^3 - 3uv + 3w$), но.. это уже наверняка где-то все вычислено в общем виде. Подскажите как искать ?

[nnosipov]

В случае $\alpha(u)=x^n+y^n+z^n$ есть рекуррентные формулы Ньютона. Для $\alpha(w)=x^ny^nz^n$ очевидно, а для $\alpha(v)=x^ny^n+y^nz^n+z^nx^n$ можно попробовать применить общий алгоритм (например, с целью получить какое-нибудь рекуррентное соотношение).

[Munin]

Может быть, можно опираться на аналогичные формулы для двух переменных?

[INGELRII]

$a(v)=x^n y^n+x^n z^n+y^n z^n=\frac{1}{2}((x^n+y^n+z^n)^2-(x^{2n}+y^{2n}+z^{2n}))=...$, дальше сами.

[alcoholist]

INGELRII
то есть

$$\alpha_n(v)=\frac{1}{2}\left(\left[\alpha_n(u)\right]^2-\alpha_{2n}(u)\right).$$

Последовательность $A_n=\alpha_n(u)$ можно определить рекурсивно

$$ A_{n+3}=uA_{n+2}-vA_{n+1}+wA_{n},\quad A_0=3,\,\, A_1=u,\,\, A_2=u^2-2v. $$

[ArshakA]

Спасибо большое всем !