Софизм в мат. анализе. В чём ошибка?

[KKKKCD 3000]

Разделим вторую производную y(x) на квадрат первой производной y(x):

$\dfrac{\ddot{y}_x}{\dot{y}_x^2}=\dfrac{d^2y/d x^2}{dy^2/dx^2}=\dfrac{d^2y}{dy^2}=\ddot{y}_y=\dot{1}_y=0$

и получим 0. Но, подставив в y(x), например, функцию $y(x)=e^x$, в том выражении выходит вовсе не ноль. В чём ошибка? Неужели обозначение Лейбница для кратных произодных:

$\dfrac{d}{dx}^ny$

является формальностью без адекватного смысла? После того, когда я столкнулся с этим софизмом, я полностью потерял веру в анализ.

[Xaositect]

Обозначение $\frac{d^n y}{dx^n}$ действительно является формальностью, а не дробью, о чем во многих учебниках матанализа прямо написано.
Проблема состоит в том, что если Вы пишете $(dy/dx)^2 = dy^2/dx^2$, то вот эти $dy^2$ и $dx^2$ - это не те $dy^2$ и $dx^2$, что стоят внизу во второй производной. И поэтому так квадраты не раскрывают.
Тем не менее, с первым дифференциалом все лучше, первые дифференциалы сокращать можно, в вашем случае это будет

$$\frac{d(dy/dx)/dx}{(dy/dx)(dy/dx)} = \frac{d(dy/dx)}{dy}\colon \frac{dy}{dx}$$

[KKKKCD 3000]

Цитата:

Обозначение $\frac{d^n y}{dx^n}$ действительно является формальностью, а не дробью, о чем во многих учебниках матанализа прямо написано.

Хм... Возможно... Видимо, мне будет просто только с первой производной, а не с высшими порядками. (Просто обозначение Лейбница для первой производной, разумеется, уже не есть бессмысленная формальность, а имеет смысл.)

Цитата:

Проблема состоит в том, что если Вы пишете $(dy/dx)^2 = dy^2/dx^2$, то вот эти $dy^2$ и $dx^2$ - это не те $dy^2$ и $dx^2$, что стоят внизу во второй производной.

А почему $dx^2$ в $\ddot{y}(x)$ и $\dot{y}(x)^2$ разные? Как это представить? Неужто это не одни и те же $\lim\limits_{\Delta x \to 0}(\Delta x)^2$?

Цитата:

Тем не менее, с первым дифференциалом все лучше, первые дифференциалы сокращать можно, в вашем случае это будет

$$\frac{d(dy/dx)/dx}{(dy/dx)(dy/dx)} = \frac{d(dy/dx)}{dy}\colon \frac{dy}{dx}$$

Спасибо! Я так понимаю, выходит, что моё искомое выражение равно $\dfrac{d\dfrac{1}{dx/dy}}{dy} \dfrac{dx}{dy}=\dfrac{d\dfrac{1}{\dot{x}(y)}}{dy}\dot{x}(y)=(\dfrac{1}{\dot{x}(y)})'_y\dot{x}(y)$.

[Xaositect]

KKKKCD 3000 в сообщении #1409644 писал(а):

А почему $dx^2$ в $\ddot{y}(x)$ и $\dot{y}(x)^2$ разные? Как это представить? Неужто это не одни и те же $\lim\limits_{\Delta x \to 0}(\Delta x)^2$?

На это, на самом деле, можно смотреть с разных сторон.

Вторая производная определяется как производная от производной. Если расписать через пределы, то

$$f''(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f'(x + \Delta x) - f'(x)}{\Delta x}, \text{ где } f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$

И это получается вложенный предел: сначала переходим к пределу в первой производной, а потом во второй. Разности $\Delta x$ в первой и второй формуле независимы, но мы привыкли обозначать их одним и тем же символом, так что здесь некоторая путаница. Давайте запишем явно:

$$f''(x) = \lim_{\Delta_2 x \to 0} \frac{f'(x + \Delta_2 x) - f'(x)}{\Delta_2 x} = \lim_{\Delta_2 x \to 0} \lim_{\Delta_1 x \to 0} \frac{\frac{f(x + \Delta_1 x + \Delta_2 x) - f(x + \Delta_2 x)}{\Delta_1 x} - \frac{f(x + \Delta_1 x) - f(x)}{\Delta_1 x}}{\Delta_2 x}$$

Итого

$$f''(x) = \lim_{\Delta_2 x \to 0} \lim_{\Delta_1 x \to 0} \frac{f(x + \Delta_1 x + \Delta_2 x) - f(x + \Delta_2 x) - f(x + \Delta_1 x) + f(x)}{\Delta_1 x \cdot \Delta_2 x}$$

C этой точки зрения, $dx^2$ во второй производной - это произведение разных независимых dx, и поэтому сокращать его с $dx^2$, которое является настоящим квадратом, некорректно.

Либо можно доказать, что дельты можно принять одинаковыми, т.е. вторая производная есть предел второго разностного отношения

$$f''(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + 2 \Delta x) - 2 f(x + \Delta x) + f(x)}{(\Delta x)^2}$$

В этом случае проблема возникает не с $dx^2$, а с $d^2 y$: здесь существенно, что значения $f(x)$, $f(x + \Delta x)$, $f(x + 2 \Delta x)$ берутся в равноотстоящих друг от друга точках, потому что мы условились, что дельты равны. Поэтому $d^2 y$ становится зависимым от выбора независимой переменной: значения $y$, соответствующие равноотстоящим $x$, дают вообще говоря не тот результат, что значения $y$, соответствующие равноотстоящим значениям какой-нибудь другой переменной $z(x)$.
С этой точки зрения, проблема в том, что $d^2y$ в $\frac{d^2 y}{dx^2}$ и $\frac{d^2y}{dy^2}$ говорят о разных предельных переходах.

[KKKKCD 3000]

Xaositect в сообщении #1409645 писал(а):

С этой точки зрения, проблема в том, что $d^2y$ в $\frac{d^2 y}{dx^2}$ и $\frac{d^2y}{dy^2}$ говорят о разных предельных переходах.

Знаете, я, кажется, вот что начал понимать. То, что выражение $d^nf(x)$ не имеет смысла при $\forall n\ne 1$, также как псевдодифференциал $\partial f(x, y)$ не имеет смысла тупо потому, что неясно, по чему осуществлять приращение: по иксу или по игреку. У меня возникло ощущение того, что производные порядка, не равного 1, надо обозначать, как и частные производные, даже если независимая переменная одна:

$\dfrac{\partial^n}{\partial x^n}f(x),$

для того, чтобы дать понять, что принцип производной сложной функции не работает:

$(\forall n\ne 1)\dfrac{\partial^n}{\partial x^n}f(g(x))\ne \dfrac{\partial^n}{\partial g^n}f(g)(\dfrac{d}{dx}g(x))^n.$

Спасибо. Вы вернули мне веру в анализ!

А выражение $df(x)^n$ всё-таки имеет смысл, и это просто потенцированный дифференциал.