Сравнение асимптотического поведения функций (большое О)

[Tnaidor]

Добрый день, прошу помощи в осознании "смысла" большого $O(g)$.

Изучаю анализ по Зоричу, в нем сказано (сокращенно):

Цитата:

Определение 23. Условимся, что запись ... $f = O(g)$ при базе $\mathcal{B}$ ... будет означать, что финально при базе $\mathcal{B}$ выполнено соотношение $f(x) = \beta(x)g(x)$, где $\beta(x)$ - финально ограниченная при базе $\mathcal{B}$ функция.

"На пальцах" я это воспринимаю как то, что если $\lim\limits_{\mathcal{B}}{\frac{f(x)}{g(x)}} < \infty$, то функция $g(x)$ описывает тенденцию графика функции в базе $\mathcal{B}$, причем $|\frac{f(x)}{g(x)}| = |\beta(x)| < C$ при $g(x) \ne 0$ есть "отклонение" функции $f(x)$ и это и есть "смысл" - мы точно знаем, что отношение функций $|\frac{f(x)}{g(x)}|$ ограничено при базе $\mathcal{B}$ и для того, чтобы "прикинуть" как график функции $f(x)$ ведет себя в этой базе, можно посмотреть на график $g(x)$ в этой базе.

В просторах интернета я столкнулся с утверждением, что в общем-то выражение $f(x) = O(g(x))$ означает, что $f(x) \leqslant g(x)$. Но как раз это мне не ясно, ведь если, например, $|\beta(x)| < \frac{1}{10000}$, утверждение выше уже неверно, хотя совершенно справедливо из определения и все еще описывает движение $f(x)$, хоть и с большим разбросом (все при некоторой базе $\mathcal{B}$).

Собственно прошу помощи в нахождении ошибоки в моих рассуждениях. Мое понимание определения неверно или "в просторах интернета" утверждение ошибочно?

Также у Зорича есть в конце параграфа примеры описания разложений Тейлора с использованием $O(g)$, например:
$e^{x} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + ... + \frac{x^{n}}{n!} + O(x^{n+1})$ при $x \to \infty$
Собственно, верно ли, что мы можем говорить лишь о "похожести" графика функции $x^{n+1}$ и графика всех последующих членов последовательности "индекса" больше n? Потому как если руководствоваться "определением из интернета", то это будет означать, что график последующих членов "нестрого под" графиком $x^{n+1}$, чего не видно из определения.

Спасибо большое!

[Red_Herring]

Tnaidor в сообщении #1409264 писал(а):

Потому как если руководствоваться "определением из интернета"

Нечего по мусоркам лазить, которые в изобилии разбросаны по просторам интернета. В том, что вы выискали, 2 ошибки . Д.б. $|f(x)|\le C|g(x)|$.

[Tnaidor]

Вы возможно меня неправильно поняли (константу $C$).

$|f(x)|=|\beta(x)||g(x)| \Rightarrow |\frac{f(x)}{g(x)}| = |\beta(x)|$, а так как в определении сказано:

Цитата:

$\beta(x)$ - финально ограниченная при базе $\mathcal{B}$ функция

то пользуясь определением финально ограниченной функции:

Цитата:

Определение 14. Функция $f:X\to\mathbb{R}$ называется ограниченной при базе $\mathcal{B}$, если существуют число $c\in\mathbb{R}$ и такой элемент $B\in\mathcal{B}$, в любой точка $x\inB$ которого $|f(x)| < c$

получается $\beta(x) < C$, а потому $|\frac{f(x)}{g(x)}| < C$, где $C$ - ограничение $\beta(x)$ (все по базе $\mathcal{B}$).

Спасибо большое за ответ. По интернетам шастать не буду.

[Otta]

Tnaidor в сообщении #1409272 писал(а):

$|\frac{f(x)}{g(x)}| < C$, где $C$ - ограничение $\beta(x)$ (все по базе $\mathcal{B}$).

Это верно, и это то же, что

Red_Herring в сообщении #1409265 писал(а):

$|f(x)|\le C|g(x)$

но не то же, что

Tnaidor в сообщении #1409264 писал(а):

$f(x) \leqslant g(x)$.

Tnaidor в сообщении #1409264 писал(а):

$e^{x} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + ... + \frac{x^{n}}{n!} + O(x^{n+1})$ при $x \to \infty$

А вот это - неверное утверждение. Посмотрите внимательней.

[Tnaidor]

Да, руки крюки, сам заметил, а исправить забыл:
$e^{x} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + ... + \frac{x^{n}}{n!} + O(x^{n+1})$ при $x \to 0$

Про $|f(x)|\le Cg(x)$ согласен, понял. В интернетах же решили любопытно "срезать"...

Спасибо большое!