Помогите понять поведение решений динамической системы

[shamaz.mazum]

Имею систему уравнений

$$\left\{ \begin{array}{rcl} &x' = y& \\ &y' = -x + y^2& \\ \end{array} \right.$$

Помогите понять, является ли точка равновесия стоком (привлекает к себе решения) или истоком. А может она будет центром, как у линеаризированной системы? Если возможно, помогите отыскать функцию Ляпунова.

Сам пробовал всякие варианты наподобие $L(x,y) = ax^2 + bxy + cy^2$, $L(x,y) = x^2 + f(x)y^2$ (навеяно "яйцеобразной" формой решений), всё мимо.

[Утундрий]

https://www.wolframalpha.com/input/?i=S ... 3,+3%7D%5D

[DeBill]

shamaz.mazum
Эта система - типа "обратимая", так что здесь таки - центр!
Посмотрите в «Странная динамическая система на плоскости: упорные центры»
(там, в конце, есть аналогичные обоснования)

[shamaz.mazum]

DeBill

Я порешал численно с разными н.у. Если н.у. недалеко от (0,0) — то вроде центр (похожий на яйцо за счет нелинейной части). А если чуть подальше — то решение уходит на бесконечность. Не такой уж там и центр.

Но про симметрии интересно, надо их поискать

[pogulyat_vyshel]

уравнение $\frac{dy}{dx}=...$ -- приводится к линейному неоднородному заменой $z=y^2$ и соответственно интегрируется. Это так к слову

[DeBill]

shamaz.mazum в сообщении #1409158 писал(а):

является ли точка равновесия стоком (привлекает к себе решения) или истоком. А может она будет центром

Т.е., речь идет именно о самой особой точке. Да и сама терминология (центр, ...) относится именно к особым точкам. Потому

shamaz.mazum в сообщении #1409175 писал(а):

А если чуть подальше — то решение уходит на бесконечность.

совершенно не важно для поставленного вопроса.
Про симметриии: типовой пример "обратимой " системы - система с "четно-нечетной" по одной из переменных правой частью. Это как раз Ваш случай.

-- 07.08.2019, 23:30 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1409179 писал(а):

Это так к слову

Так что первый интеграл ищется явно, в элементарных функциях! Как просто....