кортежи последовательных простых чисел

[gris]

После завтрака разбирал от скуки изумруды простых чисел и обнаружил вот такую четвёрку:
$<1043591, ..93,..97,..99>$. Она помещается в отрезок длины $8$. Отрезки для четвёрок меньшей длины есть только в самом начале. Интересовался в вольфраме с помощью запроса

select[range[0001,10000],PRIME[#+3]-PRIME[#] <9&]

Обнаружил, что такие четвёрки встречаются достаточно далеко.
Вопросы: 1) применимы ли к четвёркам термины кортеж и диаметр кортежа. Искал на форуме.
2) Верна ли гипотеза, что для каждого $k\geqslant 2$ существует минимальное $n: \exists \{m_i\big|i=1..\infty}:P_{m_i+k-1}-P_{m_i}\leqslant n$ То есть для каждого $k\geqslant 2$ существует некоторое минимальное $n$ такое, что существует бесконечно много кортежей (?) из последовательных простых чисел длины $k$ и диаметром(?) $n$.
Частный случай $k=2;n=2$ отражает гипотезу близнецов.
3)

[B@R5uk]

Я правильно понимаю, что первая ваша четвёрка это $\{5,7,11,13\}$ ? Или важен не шаг 2-4-2, а укладываемость заданного числа простых чисел в заданный отрезок?

[gris]

B@R5uk, для четвёрки действительно есть формула шагов $2-4-2$, но для десятки эти формулы перебирать долго, хотя идея, наверное, продуктивная в некоторых случаях. Интересуют не сами кортежи, а их бесконечное количество. Можно $P_1=2$ вообще исключить.

[B@R5uk]

gris в сообщении #1409064 писал(а):

Верна ли гипотеза, что для каждого $k\geqslant 2$ существует минимальное $n$... что существует бесконечно много кортежей (?)

Гипотеза бесконечности числа пар простых-близнецов то не доказана, а это утверждение ещё более общо.

[gris]

B@R5uk То есть, я так понял, что от строго доказанной невозможности до строго доказанной возможности лежит огромное пространство гипотез.
Если честно, то первоначальная задача была поскромнее. Доказать, что нет бесконечности кортежей длины $k$, укладывающихся в отрезок длины $n$ в самых простых частных случаях. Ну например, кроме $(2,3)$ нет пар последовательных простых с диаметром $1$, кроме $(2,3,5), (3,5,7)$ нет троек с диаметром, меньшим $6$. Ну тут просто, а вот для пятёрок, скажем, начинаются трудности.

[Dmitriy40]

gris
А почему Вы не нашли например эти кортежи? Их 166 штук до миллиона.

C:\>primesieve.x64con.exe 0 1e4 -p4
(5, 7, 11, 13)
(11, 13, 17, 19)
(101, 103, 107, 109)
(191, 193, 197, 199)
(821, 823, 827, 829)
(1481, 1483, 1487, 1489)
(1871, 1873, 1877, 1879)
(2081, 2083, 2087, 2089)
(3251, 3253, 3257, 3259)
(3461, 3463, 3467, 3469)
(5651, 5653, 5657, 5659)
(9431, 9433, 9437, 9439)
C:\>primesieve.x64con.exe 0 1e6 -c4
Prime quadruplets: 166

Плюс все возможные паттерны (допустимые разности между числами) давным давно посчитаны (это не слишком сложно) и многие и них даже найдены реально (кортежи). Я об этом говорил недавно здесь и далее несколько сообщений, там есть готовый файлик (ktmin.txt, из англовики) с паттернами и найденными кортежами. Или файлик ktpatt.txt со всеми паттернами минимального диаметра вплоть до 50-й длины.

-- 07.08.2019, 13:17 --

gris в сообщении #1409080 писал(а):

Ну тут просто, а вот для пятёрок, скажем, начинаются трудности.

Честно говоря не вижу особых трудностей, там проверяется делимость по разным вычетам (на маленькие простые) и паттерны легко отбрасываются. Во всяком случае для длин до сотни (и диаметром до 600) найти их все программой проблемы не составляет (например чуть ниже там же выложил программу на PARI/GP для проверки допустимости паттерна, останется лишь добавить перебор). У меня где-то валялись старые программы, но они точно тормозные и я их запускал лишь для паттернов длиной до 25. Можно поискать по форуму в темах о магических квадратах и кортежах/паттернах, обсуждение было там.
А, даже в OEIS есть ссылки на паттерны длиной до 672.

[gris]

Dmitriy40, а я читал как раз ваши сообщения, правда в другой теме. Я нарочно забирался подальше, чтобы посмотреть на дальние четвёрки, игнорируя ближние.
Я представил, что для конкретного случая $(k,n)$ можно постепенно накладывать Решето Э до числа $P$ и проверить, что на интервале $(3,P!)$, что любой отрезок длины $n$ просто не содержит $k$ свободных мест. Достаточно примитивно и легко программируется. Но как быть человеку из далёкого прошлого? Чисто теоретически доказать, что любые сто последовательных простяшек не покрыть отрезком длиной $976$ Ну там по-моему покрытие начинается с $1128$ .

Ой, тему про бесконечность простых я прогулял Там много чего. Спасибо.

[Dmitriy40]

gris в сообщении #1409090 писал(а):

Чисто теоретически доказать, что любые сто последовательных простяшек не покрыть отрезком длиной $976$ Ну там по-моему покрытие начинается с $1128$ .

В A008407 приведены диаметры минимальных паттернов (кортежей) длиной до 672, для длины 100 указан диаметр 558 - значит где-то (скорее всего, доказательства не знаю или не помню) найдётся кортеж диаметром 558 (отрезок длиной 558), покрывающий 100 последовательных простых. Но числа при этом будут огроменными, думаю цифр 100-120, учитывая что для длины 20 и диаметра 80 уже требуется 28-29 цифр (поизучайте файлик ktmin.txt, весьма познавательно).
Кстати в сети есть файлик k-tuplets-big-webdata.rar (опять не вспомнил откуда скачан, выложил к себе в облако, 4.5М архив с 53М текста, если найдётся в сети - ссылку поправлю) с паттернами минимального диаметра вплоть до длины 4507 диаметром 41740 (правда только по одному какому-то варианту, не все возможные).

[gris]

Вот тут я немножко не понял. Этот диаметр паттерна определяется по соображениям делимости? Просто сто первое простое число равно $547$. Или это определяется для бесконечно повторяющихся паттернов? Ладно. Не буду тыкаться наугад, а почитаю теорию. Спасибо за наводки.

[DeBill]

gris
Про это (конечность кол-ва кортежей)- кажется, есть в книжке Тао "Структура и случайность" (ну, или можно найти у него на сайте)

[Dmitriy40]

gris в сообщении #1409131 писал(а):

Вот тут я немножко не понял. Этот диаметр паттерна определяется по соображениям делимости? Просто сто первое простое число равно $547$. Или это определяется для бесконечно повторяющихся паттернов? Ладно. Не буду тыкаться наугад, а почитаю теорию. Спасибо за наводки.

Да здесь дело не в теории, тут неоднозначность самого понятия паттерн/кортеж, некоторые считают правильными лишь такие паттерны, которые оставляют свободные модули (вычеты) и соответственно кортежи с таким паттерном могут встречаться не исключительно в начале числового ряда (вот тут и далее пару-тройку страниц у нас была долгая бодяга с небезызвестной Nataly-Mak и maxal по этому поводу). Например кортеж 3,5,7,11,13 с паттерном 0,2,4,8,10 один единственный и больше кортежей с таким паттерном никогда не встретится, потому что одно из первых трёх чисел обязательно делится на 3. Так и с паттерном длиной 100 из первых простых, там первый допустимый паттерн начинается с числа 47 и имеет диаметр 572, все паттерны с меньших чисел так же не проходят по вычетам на первое простое в них, хотя существует паттерн длиной 100 и диаметром 558:
0 6 12 22 28 40 42 46 48 52 60 66 70 82 88 90 96 106 108 118 120 126 130 132 136 138 148 160 162 166 172 178 186 192 196 208 210 216 220 222 228 238 246 250 252 262 270 280 286 288 292 298 306 312 318 328 330 342 346 348 358 360 370 372 376 382 390 396 400 402 406 412 420 426 430 438 442 448 456 460 462 468 472 480 496 502 508 510 516 522 526 528 532 538 540 546 550 552 556 558.
Проверка показывает что он не встречается в первых 100 млн чисел (и скорее всего до $10^{30}$, но это сам не проверял).

Для проверки допустимости по вычетам любого паттерна можно использовать программу на PARI/GP отсюда.