Оптимизация случайных величин

[alisa-lebovski]

Спасибо, буду разбираться и думать.

[Iam]

Здесь...
Рассматриваются эквивалентные постановки исходной задачи.
Уточняется (понижается) верхняя граница для $M=\max_F E[ \min \{X,Y\}] $.
По сути дается решение задачи с оставленной на десерт маленькой задачкой.

Всюду здесь квадрат $[0,1]\times [0,1]$, поскольку ранее «немного» запутался в распределениях на различных квадратах.

Исходная задача
$M=E[ \min \{X,Y\}] \to \max_{F\in \Omega (\rho) }$ ,
где $\Omega (\rho)$ - множество ФРВ, удовлетворяющих условиям:
a) $F(z,1)=F(1,z)=z (m=1/2, \sigma^2=1/12)$;
b)$\frac 1 {\sigma^2} E[(X-m)(Y-m)] =\rho $.
Для величины $M^* (\rho)=\max M$ имеются верхняя и нижняя границы.
Учитывая инвариантность условий относительно перестановки $x \leftrightarrow y$, можно заключить, что оптимальное распределение можно искать в множестве симметричных распределений: $F(x,y)=F(y,x)$.
Задача не изменится, если условие “b” записать в виде
$E[XY]=k=\sigma^2 (\rho+3)$ и рассматривать как искомую зависимость $M^* (k)$. Такая постановка выигрывает у предыдущей тем, что величина k может усредняться по распределению, в то время как коэф. корреляции смеси не всегда соответствует смеси корреляций. У меня в предыдущих формулах проскочила такая некорректность, хотя расчеты проводил на основе усреднения значений $k$.

Наконец, еще вариант представления исходной задачи:
$W=E[|X-Y|] \to \min_{F \in \Omega’(s) }⁡ $
$\Omega’(s)$:
a) – как ранее,
b) $E[(X-Y)^2]=s $.

При этом по зависимости $W^*=W^* (s)$ на основе соотношений
$M=\frac 1 2 (EX+EY)- \frac W 2= \frac {1-W} 2, s=2/3-2k $.
можно получить зависимость $M^* (\rho)$.
Применительно к зависимости $W^* (s)$ имеющаяся нижняя граница имеет вид:
$W^*\le \frac 3 2 s $.
Сейчас мы видим, что если б не пункт “a”, то задача была бы очень простой. Если п. “a” просто отбросить и в рамках только условия “b”(область расширена) точно решить задачу (т. е. найти $W^{**}$), то $W^{**} \le W^*$ и, таким образом, получим верхнюю границу $M^*\le M^{**}=\frac {1-W^{**}} 2$.
Посмотрим на эту задачу:
$W=E[|Z|]\to \min_{F\in \Omega_1 (s) }$ ;
$\Omega_1 (s) $:
b) $E[Z^2]=s $.

Как видно, зависимость $W^{**} (s)$ - это выпуклая оболочка функции $g(z)=|z|=\sqrt z $ на отрезке [0,1], т. е. $W^{**} (s )=s$. Отсюда имеем границу
$M^* \le M^{**}=(1-W^{**})/2=(5+\rho)/12$ ,
которая всюду чуть пониже имеющейся верхней границы. Вместе с тем нужно принять во внимание, что эти границы имеют различный смысл: имеющаяся – для всех распределений, полученная – для оптимального.

Представляется, что именно задачу $W \to \min$ удобно декомпозировать на внутреннюю – условной оптимизации $ w(y | x, s(x)) $ и внешнюю – оптимизации распределения $ s(x) $на $[0,1].$
Решение внутренней задачи аналогично рассмотренному в примере выше и дает оптимальное двухатомное распределение СВ $Y$ в точках $y_1=x, y_2=1-x$, т. е. на диагоналях квадрата. Проблемы с оптимизацией безусловного распределения уже нет, но детали можно обсудить.