Теорема об ранге произведения матриц

[misha.physics]

Здравствуйте. Пусть матрица $C=AB$ и доказано, что $\operatorname{Rang}AB\leqslant\operatorname{Rang}B$. Требуется доказать, что $\operatorname{Rang}AB\leqslant\operatorname{Rang}A$. Говорится, что вследствие установленного неравенства и свойства $C^*=(AB)^*=B^*A^*$ имеем $\operatorname{Rang}C=\operatorname{Rang}C^*\leqslant\operatorname{Rang}A^*=\operatorname{Rang}A$.
Но я не вижу, как из выше отмеченных двух фактов следует, что $\operatorname{Rang}C^*\leqslant\operatorname{Rang}A^*$ и что нам в этом случае дает транспонирование.
Понятно, что требуемое неравенство можно доказать так, как и "доказанное", но интересно сделать так, как приводится в книге. Можете дать какую-то подсказку, о чём подумать?

[g______d]

misha.physics в сообщении #1408289 писал(а):

Но я не вижу, как из выше отмеченных двух фактов следует, что $\operatorname{Rang}C^*\leqslant\operatorname{Rang}A^*$ и что нам в этом случае дает транспонирование.

Возьмите неравенство $\operatorname{rank}(AB)\le \operatorname{rank} B$ и замените в нём $A$ на $B^*$ и $B$ на $A^*$.

[Munin]

misha.physics в сообщении #1408289 писал(а):

Пусть матрица $C=AB$ и доказано, что $\operatorname{Rang}AB\leqslant\operatorname{Rang}B$. Требуется доказать, что $\operatorname{Rang}AB\leqslant\operatorname{Rang}A$.

А это, простите, верно? Пусть $A$ - вырожденная, а $B$ - единичная.

[misha.physics]

g______d, спасибо, получилось!

Munin, мне представляется верным. $B$ это квадратная матрица, произведение $AB$ дает $A$, у матрицы $A$ ранг не может быть больше, чем у себя самой и не больше ранга матрицы $B$, посколько у последней ранг равен числу её строк (столбцов) $n$, а произведение $AB$ имеет количество столбцов равное $n$.

-- 02 авг 2019, 11:48 --

Похоже, я это рассуждал в немного более общем случае, когда матрица $A$ необязательно квадратная. Здесь, конечно о вырожденности говорить нельзя, но можно наложить условие, что ранг матрицы $A$ строго меньше её числа строк и столбцов. Некоторый аналог для вырожденности квадратной матрицы.

[Munin]

misha.physics в сообщении #1408315 писал(а):

посколько у последней ранг равен числу её строк (столбцов) $n$

Это почему это?

[nnosipov]

Munin в сообщении #1408309 писал(а):

А это, простите, верно?

Разумеется, это верно. Имеет место следующий медицинский факт: ранг произведения двух матриц не превосходит ранга любой из них (здесь матрицы любые, лишь бы было определено их произведение). Если один из сомножителей --- единичная матрица, то это утверждение тривиализуется.

[misha.physics]

Munin,

Munin в сообщении #1408318 писал(а):

Это почему это?

Поскольку матрица $B$ является единичной (по условию), то её ранг равен числу её строк (столбцов). Они ведь линейно независимы. И определитель единичной матрицы не равен нулю.

[Munin]

nnosipov
А, мне почему-то строгое неравенство примерещилось.

misha.physics
Извините, что сбил своими вопросами!

-- 02.08.2019 13:08:45 --

misha.physics в сообщении #1408322 писал(а):

Поскольку матрица $B$ является единичной

Я не понял, что вы рассматриваете мой пример, и подумал, что вы говорите про общий случай. Этот вопрос тоже снят.

[misha.physics]

Munin,

Munin в сообщении #1408325 писал(а):

Извините, что сбил своими вопросами!

Наоборот, я, благодаря этому вопросу сделал для себя одно открытие. Оказывается, что $AE=A$ не только тогда, когда обе матрицы $A$ и $E$ квадратные. Но переставить сомножители в этом случае уже нельзя, то есть, $EA\ne A$, оно вообще не определено. Интересно, имеет ли какую-то "ценность" произведение матриц $AE=A$, где $A$ это $m \times n$ матрица, а $E$ это единичная $n \times n$ матрица, где, вообще говоря, $m\ne n$?