Определение колебания функции на множестве и в точке

[Nickname1101]

Здравствуйте. Помогите пожалуйста уточнить определения колебания функции на множестве и в точке. Всюду далее речь идет про функции вида $f:\mathbb{R}\supset X\to\mathbb{R}$. Для начала рассмотрим определение колебания функции по множеству у Зорича.

Зорич писал(а):

Определение 16. Колебанием функции $f:X\to\mathbb{R}$ на множестве $E\subset X$ называется величина

$$\omega (f; E) := \sup\limits_{x_1,x_2\in E}|f(x_1) - f(x_2)|$$

т.е. верхняя грань модуля разности значений функции на всевозможных парах точек $x_1,x_2\in E$.

Касательно этого определения у меня возникло 2 вопроса.
1. Колебание функции определено на $\varnothing$, т.к. $\varnothing \subset E$. Рассмотрим, следуя Зоричу, $\omega (f; \varnothing)$. Каково множество значений функции $f$, которые она принимает на значениях аргумента, принадлежащих $\varnothing$? Этот вопрос эквивалентен следующему: каково множество значений сужения $f|_{\varnothing}: \varnothing \to \mathbb{R}$ функции $f:\mathbb{R}\supset X\to\mathbb{R}$ на пустое множество. Данное сужение - это "пустая функция в $\mathbb{R}$". Каждое из множеств $Dom(f|_{\varnothing}); f(Dom(f|_{\varnothing}))$; Г$(f|_{\varnothing})$ совпадают с пустым множеством. Тогда можно ли утверждать, что, раз множество значений этой функции пусто, то и множество абсолютных величин разностей значений этой функции пусто? Если так утверждать можно, то получится, что $\omega (f; \varnothing) = \sup\limits_{x_1,x_2\in \varnothing}|f(x_1) - f(x_2)| = \sup \varnothing$ и мы упираемся в супремум пустого множества. Точные грани определены для любых подмножеств $\mathbb{R}$, поэтому запрета рассматривать $\sup \varnothing$ нету. Выберем произвольное $a\in\mathbb{R}$. Рассмотрим утверждение $(\forall x \in\varnothing) x \leqslant a$. Его отрицание $\exists x_{0}\in \varnothing: x_{0} > a$ очевидно ложно, значит само высказывание истинно, следовательно любое вещественное число является верхней гранью для $\varnothing$ в $\mathbb{R}$. Тогда в $\overline{\mathbb{R}}$ существует $\sup \varnothing = -\infty$. Получаем, что $\omega (f; \varnothing) = \sup\limits_{x_1,x_2\in \varnothing}|f(x_1) - f(x_2)| = \sup \varnothing = -\infty$. Все так?

2. Зачем Зорич вводит ограничение $E\subset X$? Если его убрать, то определение будет выглядеть как-то более эстетично. Я предлагаю следующее определение колебания функции на множестве:

я писал(а):

Определение Колебанием функции $f:X\to\mathbb{R}$ на множестве $E\subset \mathbb{R}$ называется величина

$$\omega (f; E) := \sup\limits_{x_1,x_2\in E\cap X}|f(x_1) - f(x_2)|$$

т.е. верхняя грань модуля разности значений функции на всевозможных парах точек $x_1,x_2\in E\cap X$.

Эти определения эквивалентны, не так ли?

У меня есть еще вопросы, но для начала надо с этими разобраться.

[alcoholist]

Nickname1101 в сообщении #1408274 писал(а):

Получаем, что $\omega (f; \varnothing) = \sup\limits_{x_1,x_2\in \varnothing}|f(x_1) - f(x_2)| = \sup \varnothing = -\infty$. Все так?

Таким образом можно получить и равенство $\inf\varnothing=+\infty$.
Действительно: $\forall A\subset B\subset\mathbb{R}$ выполнено $\sup A\le \sup B$ и $\inf A\ge\inf B$. В силу того, что пустое множество содержится в любом множестве и произвольности $B$, получим $\sup\varnothing=-\infty$, $\inf\varnothing=+\infty$.

-- Чт авг 01, 2019 22:03:12 --

Я к тому, что верхняя и нижняя грани определены только для непустых подмножеств упорядоченных множеств.

[Nickname1101]

alcoholist

alcoholist в сообщении #1408276 писал(а):

Я к тому, что верхняя и нижняя грани определены только для непустых подмножеств упорядоченных множеств.

Не согласен с Вами. Всегда считал, что верхние и нижние грани определены для любого подмножества некоторого частично упорядоченного множества. Не поделитесь источником, откуда у Вас информация про требование непустоты?

[alcoholist]

Nickname1101 в сообщении #1408279 писал(а):

откуда у Вас информация про требование непустоты?

вот отсюда:

alcoholist в сообщении #1408276 писал(а):

$\sup\varnothing=-\infty$, $\inf\varnothing=+\infty$

-- Чт авг 01, 2019 22:16:19 --

если, конечно, мы хотим безоговорочного выполнения интуитивно ясной импликации

alcoholist в сообщении #1408276 писал(а):

$\forall A\subset B\subset\mathbb{R}$ выполнено $\sup A\le \sup B$ и $\inf A\ge\inf B$

[Nickname1101]

alcoholist

alcoholist в сообщении #1408280 писал(а):

вот отсюда:

alcoholist в сообщении #1408276 писал(а):

$\sup\varnothing=-\infty$, $\inf\varnothing=+\infty$

Это теорема, которая вытекает из определения точных граней.

alcoholist в сообщении #1408280 писал(а):

если, конечно, мы хотим безоговорочного выполнения интуитивно ясной импликации

alcoholist в сообщении #1408276 писал(а):

$\forall A\subset B\subset\mathbb{R}$ выполнено $\sup A\le \sup B$ и $\inf A\ge\inf B$

А разве она нарушается?

Нарушается то, что супремум может оказаться меньше инфимума. В этом смысле соглашусь, что это немного контринтуитивно. А вообще интересная тема. Надо потом как-нибудь поднять тему о том, много ли потеряет анализ, если ввести запрет на рассмотрение границ пустого множества.

[alcoholist]

Nickname1101 в сообщении #1408283 писал(а):

много ли потеряет анализ

ничего не потеряет, верхняя грань не меньше нижней, не занимайтесь ерундой долго:))

[Nickname1101]

alcoholist

alcoholist в сообщении #1408284 писал(а):

не занимайтесь ерундой долго:))

А пустая функция $f|_{\varnothing}: \varnothing \to \mathbb{R}$, значит, у Вас вопросов не вызвала?

[DeBill]

Nickname1101 в сообщении #1408279 писал(а):

Не согласен с Вами. Всегда считал, что верхние и нижние грани определены для любого подмножества некоторого частично упорядоченного множества. Не поделитесь источником, откуда у

Не поделитесь ли источником (приведите, пжалста, ТОЧНОЕ Ваше определение), позволяющим так считать.

-- 02.08.2019, 03:39 --

Кстати, про источник, НЕ позволяющий так считать: Зорич, да и любой учебник по матану: там в определении присутствует фрагментик "существует элемент множества, такой что..."

[Nemiroff]

DeBill в сообщении #1408288 писал(а):

Кстати, про источник, НЕ позволяющий так считать: Зорич, да и любой учебник по матану: там в определении присутствует фрагментик "существует элемент множества, такой что..."

На самом деле нет там такого.
А вот аккуратный разбор post126074.html#p126074

Другое дело, что $\sup\varnothing$ не существует в $\mathbb{R}$. Зорич пишет более аккуратно: любое непустое ограниченное сверху имеет -- чтоб всё существовало там, где надо.

[Nickname1101]

DeBill

DeBill в сообщении #1408288 писал(а):

Не поделитесь ли источником (приведите, пжалста, ТОЧНОЕ Ваше определение), позволяющим так считать.

Поделюсь. Но определение границ приведу не свое, а общепринятое. Свое определение я привел в первом сообщении для колебания функции на множестве.

DeBill в сообщении #1408288 писал(а):

Кстати, про источник, НЕ позволяющий так считать: Зорич, да и любой учебник по матану: там в определении присутствует фрагментик "существует элемент множества, такой что..."

Раз уж Вы сами упомянули Зорича, то его я и приведу в качестве источника (можете брать издание 2002 или 2012 года - определения совпадают и было бы очень странно, если бы они различались).

Зорич писал(а):

Определение 2. Говорят, что множество $X\subset \mathbb{R} ограничено сверху (снизу), если существует число $c\in \mathbb{R}$ такое, что $x\leqslant c$ (соответственно, $c\leqslant x$) для любого $x\in X$. Число $c$ в этом случае называют верхней (соответственно, нижней) границей множества $X$ или также мажорантой (минорантой) множества $X$.

Запрета рассматривать $\varnothing$ нету. Как я уже писал в первом сообщении

Nickname1101 в сообщении #1408274 писал(а):

следовательно любое вещественное число является верхней гранью для $\varnothing$ в $\mathbb{R}$. Тогда в $\overline{\mathbb{R}}$ существует $\sup \varnothing = -\infty$.

С чем Вы спорите, мне непонятно.

Вообще говоря, это все оффтоп. Тема была первоначально не про это.

[alcoholist]

Nickname1101 в сообщении #1408311 писал(а):

Запрета рассматривать $\varnothing$ нету

Так какую пользу вы извлекаете из того факта, что $\sup\varnothing=-\infty$? Разве что $\sup A\cup B= \max\{\sup A ,\sup B\}$

-- Пт авг 02, 2019 13:30:28 --

По п. 2 стартового сообщения. У Зорича естественней. Бессмысленно рассматривать потомство стерильных кроликов колебание функции на множестве, которое не содержится в области ее определения.

[DeBill]

Nickname1101 в сообщении #1408311 писал(а):

С чем Вы спорите, мне непонятно.

Да собственно - ни о чем. Точнее, о терминогогии.
Именно, иногда используют термины "верхняя грань" и "точная верхняя грань" (по Зоричу, соответсвенно "верхняя граница" и "верхняя грань"). Я полагал, что Вы используете "правильную " терминологию, по Зоричу. И моя придирка относилась именно к этому. Однако, теперь я вижу, что ранее использовалась "неправильная" терминология - и тогда там все в порядке (хотя и забавно: на просьбу дать ТОЧНОЕ определение верхней грани Вы привели определение верхней границы, и не стали продолжать текст Зорича, содержащий таки определение точной грани...).
Но в целом - да, согласен: разговор идет совершенно ни о чем, надо его прекращать.

[Nickname1101]

(DeBill)

DeBill в сообщении #1408351 писал(а):

Именно, иногда используют термины "верхняя грань" и "точная верхняя грань" (по Зоричу, соответсвенно "верхняя граница" и "верхняя грань").

Кто вообще различает слова "грань" и "граница"... Слово "точная" для этого и придумано. Исторический момент, когда граница перестала быть гранью, видимо прошел мимо меня . Вас я понял.

alcoholist в сообщении #1408329 писал(а):

По п. 2 стартового сообщения. У Зорича естественней. Бессмысленно рассматривать потомство стерильных кроликов колебание функции на множестве, которое не содержится в области ее определения.

А если мы имеем дело с функцией, у которой сложная область определения? Да даже если взять функцию, заданную, например, на канторовом множестве. Как описывать колебание такой функции на каком-нибудь маленьком интервале где-то внутри отрезка $[0; 1]$? Всякий раз рассматривать колебание этой функции на сужении ее области определения на интересующий промежуток? Или, например, рассмотрим колебание функции в точке. Если следовать определению Зорича, то получится следующее
Определение 1. Колебанием функции $f:\mathbb{R}\supset X\to\mathbb{R}$ в точке $a \in \overline{\mathbb{R}}$, предельной для $X$, называется величина

$$\omega (f; a) := \lim\limits_{\delta \to 0}^{}\omega (f; [\dot{V}_{\delta}(a) \cap X])$$

А если взять мое определение, то получится
Определение 2. Колебанием функции $f:\mathbb{R}\supset X\to\mathbb{R}$ в точке $a \in \overline{\mathbb{R}}$, предельной для $X$, называется величина

$$\omega (f; a) := \lim\limits_{\delta \to 0}^{}\omega (f; \dot{V_\delta}(a))$$

Колебание функции в точке по моему определению выглядит проще.
Что касается "потомства стерильных кроликов". По Зоричу можно рассматривать колебание функции на $\varnothing$. Идея рассматривать колебание функции на множестве, не пересекающемся с ее областью определения, на фоне этого выглядит не такой уж и странной. Тем более, что $(\forall E\subset \mathbb{R}) E \cap X = \varnothing \to \omega (f; E) = -\infty$, а $(\forall E\subset \mathbb{R}) E \cap X \ne \varnothing \to \omega (f; E) \geqslant 0$, что вполне согласуется с интуицией: колебание функции в любом месте "там, где ее нету" условно приняли за $-\infty$. (Справедливости ради, с интуицией, по всей видимости, больше всего согласуется вообще не рассматривать пустые функции/точные грани $\varnothing$/колебания функции на $\varnothing$ или на множестве, не пересекающемся с ее областью определения и т.д) Далее, используя мое определение, мы получаем достаточно сильную теорему:
Теорема. $\forall E, E': E \subset E' \subset \mathbb{R}\to \omega (f; E)\leqslant \omega (f; E')$
Доказательство:
$E \subset E' \subset \mathbb{R} \Rightarrow [E \cap X] \subset [E' \cap X] \subset \mathbb{R} \Rightarrow \mbox{\underset{\it x_{1}, x_{2} \in [E \cap X]}{\{|f(x_{1}) - f(x_{2})|\}} \subset \underset{\it x_{1}, x_{2} \in [E' \cap X]}{\{|f(x_{1}) - f(x_{2})|\}}\subset \mathbb{R}} \Rightarrow$

$\Rightarrow \sup \underset{\it x_{1}, x_{2}\in [E \cap X]}{\{|f(x_{1}) - f(x_{2})|\}} = \omega (f; E) \leqslant \omega (f; E') = \sup \underset{\it x_{1}, x_{2}\in [E' \cap X]}{\{|f(x_{1}) - f(x_{2})|\}}$.

Аналог этой теоремы имеет место и при определении колебания функции на множестве по Зоричу, но он справедлив не для произвольных множеств $E \subset E' \subset \mathbb{R}$, а только для подмножеств $E \subset E' \subset X$ области определения функции $f$. На мой взгляд, приведенная мной теорема более общая (нет ограничения на рассматриваемые множества), чем теорема-аналог по Зоричу. Конечно, здесь можно возразить, что эта общность "моей" теоремы лишь иллюзорная и на самом деле обе теоремы суть одно и то же. Как бы там ни было, чтобы использовать теорему-аналог, придется как-то предварительно доказать, что рассматриваемые множества $E, E': E \subset E'$ действительно являются подмножествами $X$. Я подозреваю, что в большинстве случаев рассматриваемые множества $E, E': E \subset E'$ будут иметь вид $M \cap X$ (где $M$ - некоторое подмножество $\mathbb{R}$) и поэтому никаких проблем не возникнет, но всегда ли так будет? На мой взгляд, если мы можем избежать всех этих технических удлинений формулировок и доказательств теорем путем небольшого видоизменения определения, то почему бы так не сделать?

Мой следующий вопрос относится к определению колебания фукции в точке. Если внимательно посмотреть на это определение (на любое из 2 приведенных выше), то становится очевидным, что определение нуждается в дополнительных комментариях. Ситуация, напоминающая определение точной верхней (нижней) грани множества. Мы называем точной верхней (нижней) гранью некоторого множества $M\subset \mathbb{R}$ наименьшую (наибольшую) из всех верхних (нижних) граней. Но сам факт существования и единственности (в $\overline{\mathbb{R}}$) наименьшей (наибольшей) из всех верхних (нижних) граней нуждается в доказательстве. В определении колебания функции в точке существование и единственность предела также нуждаются в доказательстве. Я буду использовать Определение 1. (общепринятое) На примере этого доказательства будут видны те технические детали, удлиняющие доказательство, о которых я упоминал выше.

Теорема. Предел в определении колебания

$$\omega (f; a) := \lim\limits_{\delta \to 0}^{}\omega (f; [\dot{V}_{\delta}(a) \cap X])$$

функции $f:\mathbb{R}\supset X\to\mathbb{R}$ в точке $a \in \overline{\mathbb{R}}$, предельной для $X$, всегда существует и единственен какую бы точку $a \in \overline{\mathbb{R}}$, предельную для $X$ мы бы ни рассматривали.
Доказательство.
1. $(\forall \delta > 0) [\dot{V}_{\delta}(a) \cap X] \ne \varnothing$, т.к. $a \in \overline{\mathbb{R}}$ является предельной точкой для $X$. Следовательно, $(\forall \delta > 0) \omega (f; a) \geqslant 0$ ($\omega (f; a)$ не обязано быть конечным, оно может равняться $+\infty$).
2. Всякая функция $f$, имеющая некоторую предельную для своей области определения $X \subset \mathbb{R}$ точку $a \in \overline{\mathbb{R}}$ порождает новую функцию $\omega(\delta)$, ставящую каждому значению $\delta>0$ соответствующее значение $\omega \geqslant 0$, равное колебанию функции $f$ на $[\dot{V}_{\delta}(a) \cap X]$. Здесь нужно рассуждать аккуратно: функция $\omega$ отображает $\mathbb{R}_{+}$, вообще говоря, не в $\mathbb{R}$, а в $\overline{\mathbb{R}}$(где $\mathbb{R}_{+}$ - множество положительных действительных чисел). Строго говоря, доказанные ранее теоремы теории пределов использовать для такой функции нельзя.

(пояснение)

Конечно, можно начать строить (или сразу надо было так сделать?) "новую" теорию пределов, рассматривая функции вида $f:\overline{\mathbb{R}}\supset X\to\overline{\mathbb{R}}$ (или хотя бы вида $f:\mathbb{R}\supset X\to\overline{\mathbb{R}}$). Позволять ли функциям принимать бесконечные значения или быть определенными на бесконечностях - отдельный вопрос, на который я не могу дать ответ. По крайней мере 1 содержательный пример использования таких функций продемонстрирован. В любом случае, я буду придерживаться "стандартной" теории пределов, т.к. конкретное данное доказательство можно провести ее методами (с оговоркой, что для $\omega$ мы определили понятие предела по Коши в терминах окрестностей конечных/бесконечно удаленных точек).

Доказательство единственности предела (если он существует) тривиально - пространство $\overline{\mathbb{R}}$ удовлетворяет аксиоме Хаусдорфа, поэтому доказательство практически дословно копирует стандартное. Сложнее доказать существование предела.
3. Рассмотрим предел этой функции $\omega(\delta)$ при $\delta \to 0$. Очевидно, мы это можем сделать, т.к. $Dom [\omega(\delta)] = \mathbb{R}_{+}$ и 0 является предельной точкой для $Dom [\omega(\delta)]$. Возможен случай $\omega = +\infty (\forall \delta > 0)$. В таком случае $\lim\limits_{\delta \to 0}^{}\omega(\delta) = +\infty$. Но если $\omega$ принимает некоторое конечное значение $C$ в некоторой точке $c$, то $\forall \delta: 0<\delta<c \to \omega(\delta)\in \mathbb{R}$. Более того, на интервале $(0; c)$ $\omega$ является неубывающей функцией. Это следует из того, что для произвольных

$$0 < \delta_{1} < \delta_{2} < c \Rightarrow \varnothing \ne \dot{V}_{\delta_{1}}(a) \subset \dot{V}_{\delta_{2}}(a) \Rightarrow \varnothing \ne [\dot{V}_{\delta_{1}}(a)\cap X] \subset [\dot{V}_{\delta_{2}}(a)\cap X] \Rightarrow$$

$$\Rightarrow 0 \leqslant \omega (f; [\dot{V}_{\delta_{1}}(a)\cap X]) \leqslant \omega(f; [\dot{V}_{\delta_{2}}(a)\cap X]) \in \mathbb{R}$$

(пояснение)

В этом месте стоит доказать в качестве леммы, что предел $\omega$ в точке - это ее локальное свойство; значения, которые она принимает вне некоторой проколотой окрестности нуля не влияют ни на существование, ни на значение ее предела в этой точке. Доказательство тривиально, поэтому я его опущу.

4. Имеем (на интервале $(0; c)$) неубывающую ограниченную снизу вещественнозначную функцию $\omega(\delta)$, у которой мы рассматриваем предел в точке $a = 0 = \inf (0; c) \notin (0; c)$. По теореме о пределе монотонной функции, при данных условиях можно заключить, что $\exists \lim\limits_{\delta\to 0}^{} \omega(\delta) = \inf \omega (0; c)$, что и требовалось доказать.


Вопрос: Те обоснования, которые я дал относительно колебания функции в точке верны? Верно ли, что если вводить колебание функции в точке через предел, то такого рода обоснования необходимо провести?

[Евгений Машеров]

По определению, колебание величина неотрицательная (как супремум неотрицательных величин). И если для чего-то может быть нужно вводить колебание функции, заданной на пустом множестве, это может быть только ноль.

(Оффтоп)

Но на фига это делать, спрашивает поэт Андрей Вознесенский, привычно рифмуя "на фига" и "бытия"...

[alcoholist]

Nickname1101 в сообщении #1408621 писал(а):

сужении ее области определения на интересующий промежуток

что такое "сужение канторова множества на промежуток"?

-- Вс авг 04, 2019 12:27:55 --

Nickname1101 в сообщении #1408621 писал(а):

и единственен

это излишне, любой предел в хаусдорфовом пространстве единственен, если существует