Лагранжиан

[sergey zhukov]

Если некоторая система характеризуется $n$ степенями свободы $i=1..n$, то ее эволюция во времени определяется $n$ начальными обобщенными координатами ${q_i}_0$, парными им $n$ обобщенными скоростями ${\frac{dq}{dt}_i}_0$ и лагранжианом системы $L=L(q_i, \frac{dq}{dt}_i, t)$. Траектория системы в фазовом пространстве $(q_i, \frac{dq}{dt}_i, t)$ определяется, как стационарность действия (интеграла от лагранжиана по времени).
Можно ли рассматривать лагранжиан, как своего рода метрику фазового пространства системы, в котором траектория системы соответствует геодезической?

[Red_Herring]

sergey zhukov в сообщении #1408144 писал(а):

Можно ли рассматривать лагранжиан, как своего рода метрику фазового пространства системы, в котором траектория системы соответствует геодезической?

Приведите определение "своего рода метрики".

[пианист]

В книжечке Рашевского, геометрическая теория.., в главе про финслера что-то такое есть.

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1408144 писал(а):

Траектория системы в фазовом пространстве $(q_i, \frac{dq}{dt}_i, t)$

Вообще-то фазовое пространство - это немножко другое.

[Утундрий]

sergey zhukov в сообщении #1408144 писал(а):

Можно ли рассматривать лагранжиан, как своего рода метрику фазового пространства системы, в котором траектория системы соответствует геодезической?

Давайте, начнём с конца. Зачем?

[sergey zhukov]

Red_Herring в сообщении #1408149 писал(а):

Приведите определение "своего рода метрики"

Возьмем простейший случай одной обобщенной координаты. Фазовое пространство будет представлять плоскость $(q;dq/dt)$. Лагранжиан задает поверхность над этой плоскостью. Траектория системы в плоскости $(q;dq/dt)$ будет соответствовать стационарности длины проекции этой траектории на поверхность, заданную лагранжианом. Каждому отрезку длины в плоскости $(q;dq/dt)$ соответствует длина ее проекции на поверхность лагранжиана. В этом смысле лагранжиан может считаться метрикой. Примерно так же, как коэффициент преломления изотропной неоднородной среды может считаться метрикой, если расстояние определить, как время хода луча света. Такая метрика получается скалярной, но все же даже такая метрика имеет смысл.

пианист в сообщении #1408154 писал(а):

В книжечке Рашевского

Спасибо, действительно похоже.

Утундрий в сообщении #1408170 писал(а):

Давайте, начнём с конца. Зачем?

Зачем мне лагранжиан? Я хотел понять задачу про квантовый осциллятор. Даже самая простая задача про квантовый осциллятор начинается с лагранжиана и гамильтониана. Из их определения я понял, что лагранжева и гамильтонова механика абстрагируется от внуреннего устройства системы, заменяя его функцией лагранжа и гамильтона. Это позволяют описывать систему в виде черного ящика, и этот вид описания особенно подходит для квантовой механики.

Зачем представлять лагранжиан в виде метрики в фазовом пространстве? Я думаю, эта аналогия полезна. Примерно, как переформулировка СТО в геометрических терминах, хотя изначально она не была осмыслена с такой точки зрения.
Как-то раз я понял смысл преобразования Фурье, когда представил себе любую функцию в виде бесконечномерного вектора в некотором бесконечномерном пространстве. Интеграл от произведения двух функций стал просто проекцией одного вектора на другой (скалярным произведением), ортогональность - нулевым скалярным произведением, формулы Фурье-преобразования - разложением вектора данной функции в базисе векторов ортогональных функций. Так же стало очевидно, что существует бесконечно много систем ортогональных функций.

[Red_Herring]

sergey zhukov в сообщении #1408198 писал(а):

Фазовое пространство будет представлять плоскость $(q;dq/dt)$.

Вам уже объяснили, что многообразие координат-скоростей не фазовое пространство. Найдите учебник механики и прочтите определение. И на настоящем фазовом пространстве определен гамильтониан, а не лагранжиан. Уж если вы квантовать собрались, то вам нужно именно это

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1408210 писал(а):

Уж если вы квантовать собрались, то вам нужно именно это

Квантовать есть разные способы. Но рассуждать о квантовании с человеком, который классической механики не знает...

[Red_Herring]

sergey zhukov в сообщении #1408198 писал(а):

формулы Фурье-преобразования - разложением вектора данной функции в базисе векторов ортогональных функций.

Чем дальше в лес, тем больше дров. Преобразование Фурье (которое обычное, не дискретное) есть разложение в интеграл Фурье, а не в ряд Фурье, и разложение идет по функциям которые пространству $L^2(\mathbb{R})$ не принадлежат, и об ортогональности их речи не идет.

[pogulyat_vyshel]

Многообразие с локальными координатами $q$ называется конфигурационным пространством лагранжевой системы. Касательное расслоение этого многообразия ( те именно многообразие с локальными координатами $(q,\dot q)$) называется фазовым пространством. В гамильтоновой системе фазовое пространство это кокасательное расслоение конфигурационного многообразия. Прямое произведение фазового пространства на ось $\mathbb{R}=\{t\}$ называется расширенным фазовым пространством.

[Munin]

Red_Herring

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #1408221 писал(а):

...и об ортогональности их речи не идет.

Охосподи, не ломайте шаблоны. $\int_{-\infty}^{+\infty}\sin(ax)\sin(bx)dx\ne 0\iff a=b.$

pogulyat_vyshel
Спасибо!

[pogulyat_vyshel]

Функция $\sin(ax)\sin(bx)$ неинтегрируема по Лебегу на $\mathbb{R}$ при $ab\ne 0$

[sergey zhukov]

Red_Herring в сообщении #1408210 писал(а):

Найдите учебник механики и прочтите определение.

Да, фазовое пространство вместо обобщенных скоростей содержит обобщенные импульсы, для которых определен именно гамильтониан. Я начал с лагранжиана, как более простого понятия. Как называется пространство координат-скоростей?

[warlock66613]

pogulyat_vyshel в сообщении #1408251 писал(а):

Функция $\sin(ax)\sin(bx)$ неинтегрируема по Лебегу на $\mathbb{R}$ при $ab\ne 0$

Это проблема Лебега, а не ТС.

[pogulyat_vyshel]

Функции $\{t\mapsto e^{iat}\mid a\in\mathbb{R}\}$ действительно образуют ортогональный базис, но только в гильбертовом пространстве, полученном пополнением пространства тригонометрических полиномов
вида $u(t)=\sum_{k=1}^nu_ke^{ia_kt}$ по норме, порожденной скалярным произведением

$$(u,v)=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{0}^Tu(t)\overline v(t)dt$$