Неравенство 26("как бы Йенсен").

[TR63]

Требуется доказать неравенство:
$f(b,a,c)=b^2+a^2+c^2+\frac{2}{\pi^2}(\sin^2\pi b+\sin^2\pi a+\sin^2\pi c)-\frac3 4\ge0$
$b+a+c=1$, $(b,a,c)$ неотрицательные. $b\le a\le c$, $(\pi b,\pi a)$ находятся в первой четверти, значит неравенство достаточно доказать при $a=b$.
Для получения усиленного неравенства воспользуемся двумя верными неравенствами:
1). $\sin^2\pi x\ge[\pi x(1-\frac1 6\pi x)]^2$
2). $b^2+a^2+c^2\ge\frac1 3(b+a+c)$
Получим усиленное неравенство (главное, что бы оно было верно хотя бы при $a=b$; этого будет достаточно):
$3(b^2+a^2+c^2)-\frac2 3\pi(b^3+a^3+c^3)+\frac{1}{18}\pi^2(b^4+a^4+c^4)-\frac3 4\ge0$
Учитывая, что $c=1-b-a$, $1-2a\le c\le1-2b$, получим более усиленное неравенство:
$3(2b^2+(1-2a)^2)-\frac2 3\cdot3.15(2a^3+(1-2b)^3)+\frac{1}{18}\cdot3.14^2(2b^4+(1-2a)^4)-\frac3 4\ge0$
Теперь проверяем это неравенство при $a=b$.
У меня получился положительный многочлен четвёртой степени без действительных корней. Значит исходное неравенство верно.
(Отсутствие действительных корней можно проверить на Вольфраме. Можно ручками, используя соответствующий критерий.)

Прошу проверить решение (получилось слишком просто в идейном плане; может ошиблась).