2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 О мерах иррациональности числа по разным основаниям
Сообщение29.07.2019, 08:36 


12/05/07
488
г. Уфа
Мера иррациональности $\mu(x)$ вещественного числа $x\in\mathbb R$ определяется через множество $M(x)$ всех чисел $\mu$, таких, что неравенство $0<\Bigl|x-\dfrac{p}{q}\Bigr|<\dfrac{1}{q^\mu}$ имеет лишь конечное число решений в целых числах $p$ и $q$. Она есть нижняя грань множества $M(x)$: то есть $\mu(x)=\inf M(x)$. Если $M(x)=\varnothing$, то полагают по определению $\mu(x)=+\infty$.

Пусть $a\in\mathbb N$ – положительное натуральное число $a\geqslant 2$. Положим $q=a^n$ в определении меры иррациональности числа $x$ и обозначим через $M_a(x)$ множество всех чисел $\mu$, таких, что неравенство $0<\Bigl|x-\dfrac{p}{a^n}\Bigr|<\dfrac{1}{a^{\mu\,n}}$ имеет лишь конечное число решений в целых числах $p$ и $n>0$. Тогда величину $\mu_a(x)=\inf M_a(x)$ можно назвать мерой иррациональности числа $x$ по основанию $a$. Если $M_a(x)=\varnothing$, то положим по определению $\mu_a(x)=+\infty$. При $a=2$ получаем меру двоичой иррациональности, при $a=3$ – меру троичной иррациональности и т. д. При $a=10$ получаеся мера десятичной иррациональности. Ясно, что $1\leqslant\mu_a(x)\leqslant\mu(x)\leqslant+\infty$. Возникает ряд естественных задач для подобных мер иррациональности.

Задача 1. Чему равна мера двоичной иррациональности для рациональных чисел, не являющихся двоично-рациональными?

Задача 2. Вычислить $\mu_a(x)$ для чисел $x=\sqrt{2}$, $x=\sqrt{3}$ и т. д., то есть для всех иррациональных корней из целых чисел.

Задача 3. Вычислить$\mu_a(x)$ для числа $x=e$ (основание натурального логарифма).

Задача 4. Вычислить $\mu_a(x)$ для числа $x=\pi$ (площадь единичного круга).

Имеется связь между $\mu_2(x)$ и функциями $\alpha(x)$ и $\beta(x)$, определёнными в теме "Задачи о доле единиц в двоичной записи чисел". Если $\mu_2(x)>1$, то $\alpha(x)\leqslant\dfrac{1}{\mu_2(x)}$. Если $\mu_2(1-x)>1$, то $\beta(x)\geqslant\dfrac{\mu_2(1-x)-1}{\mu_2(1-x)}$.

 i  Последняя фраза изменена по просьбе участника.

 Профиль  
                  
 
 Re: О мерах иррациональности числа по разным основаниям
Сообщение30.07.2019, 01:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
855
матмех спбгу
Немного общих соображений. Я рассматриваю $x \in [0,1]$. Для почти всех $x$ выполнено $\mu_{a}(x)=1$ (в отличие от обычной меры иррациональности, которая для почти всех $x$ равна двум). Числа с $\mu_{a}(x) \geq 1 + \varepsilon$ составляют множество нулевой меры, которое тем не менее всюду плотно (и потому не пусто), т. к.
$$\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}\bigcup_{j=0}^{a^{n}}\left( \frac{j}{a^{k}} - \frac{1}{a^{k(1+\varepsilon)}}; \frac{j}{a^{k}} + \frac{1}{a^{k(1+\varepsilon)}}\right)$$
всюду плотно (по т. Бэра).

Если $\mu_{a}(x)>2$, то всякая дробь вида $\frac{p}{a^{n}}$, хорошо приближающая $x$, при достаточно больших $n$ должна быть подходящей дробью. Далее нужно смотреть на рекуррентную формулу знаменателя подходящей дроби и думать, может ли она давать степень $a$. Так можно показать (для конкретных $x$), что $\mu_{a}(x) \leq 2$. Если же $1 \leq \mu_{a}(x) < 2$, то аппарат цепных дробей тут не поможет...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group