Подсчет количества цифр в записи числа

[maxal]

Alik писал(а):

maxal, я тут еще немножко поигрался с MATLAB, в результате для матрицы $A$ размером $27\times 4$ нашлось всего 28 систем уравнений имеющих решение. Подсчитывались они методом подбора переменных $x_1, \dots, x_3$ так чтобы $x_4$ принимал различные значения.

По-прежнему непонятно, о чем идет речь. Опишите подробнее ваш алгоритм поиска разрешимых систем и их решений.

[Alik]

Возьмем матрицу троичного разложения $M$ и умножим на вектор-маску $K$ предполагая, что фиксированные значения $x_1, \dots, x_3$ дают некоторый набор решений для $x_4$. Результатом этого перемножения будет вектор $F$ из которого легко получить вектор $B$ заменяя отрицательные значения на $-1$, а положительные на $0$. Следующий этап - это формирование систем уравнений, для этого прибавим к отрицательным элементам вектора $F$ число $8$ и получим вектор $F'$. Он содержит числа от $1$ до $7$, каждое из которых встречается несколько раз. Возьмем для примера число $3$, найдем соответствуюцие ему строки в матрице $M$, сформируем из них матрицу $A'$ добавив в последний столбец $-1$. Вектор свободных членов $B'$ формируется по аналогичному принципу, из найденных элементов вектора $B$. Решением системы $A'X=B'$, как и следовало ожидать, будут бинарные значения. Повторяя описанную процедуру формирования систем для всех чисел $1, \dots, 7$ получим набор решений для $x_4$. Далее нужно заменить вектор-маску $K$, допустим на

\[ \left[ {\begin{array}{*{20}c} 3 & 2 & 1 \\ \end{array}} \right] \]

и повторить все сначала добавляя к отрицательным элементам вектора $F$ число $d=sum(K)+1$. Подбирая вектор-маску $K$ так, чтобы сформированные системы имели решения получим множество значений $x_4$ соответствующих последовательности Фарея 8-го порядка.

\[ \begin{array}{c} M = \left[ {\begin{array}{*{20}c} \begin{array}{r} {\rm{ - 1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{0}} \\ {\rm{0}} \\ {\rm{0}} \\ {\rm{0}} \\ {\rm{0}} \\ {\rm{0}} \\ {\rm{0}} \\ {\rm{0}} \\ {\rm{0}} \\ {\rm{1}} \\ {\rm{1}} \\ {\rm{1}} \\ {\rm{1}} \\ {\rm{1}} \\ {\rm{1}} \\ {\rm{1}} \\ {\rm{1}} \\ {\rm{1}} \\ \end{array} & \begin{array}{r} {\rm{ - 1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{0}} \\ {\rm{0}} \\ {\rm{0}} \\ {\rm{1}} \\ {\rm{1}} \\ {\rm{1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{0}} \\ {\rm{0}} \\ {\rm{0}} \\ {\rm{1}} \\ {\rm{1}} \\ {\rm{1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{0}} \\ {\rm{0}} \\ {\rm{0}} \\ {\rm{1}} \\ {\rm{1}} \\ {\rm{1}} \\ \end{array} & \begin{array}{r} {\rm{ - 1}} \\ {\rm{ 0}} \\ {\rm{1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{ 0}} \\ {\rm{1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{ 0}} \\ {\rm{1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{ 0}} \\ {\rm{1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{0}} \\ {\rm{1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{0}} \\ {\rm{1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{0}} \\ {\rm{1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{0}} \\ {\rm{1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{0}} \\ {\rm{1}} \\ \end{array} \\ \end{array}} \right]\begin{array}{*{20}c} {\begin{array}{*{20}c} {} & {K = } \\ \end{array}\left[ \begin{array}{r} 4 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array} \right]} & {F = } \\ \end{array}\left[ \begin{array}{r} {\rm{ - 7}} \\ {\rm{ - 6}} \\ {\rm{ - 5}} \\ {\rm{ - 5}} \\ {\rm{ - 4}} \\ {\rm{ - 3}} \\ {\rm{ - 3}} \\ {\rm{ - 2}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{ - 3}} \\ {\rm{ - 2}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{ 0}} \\ {\rm{ 1}} \\ {\rm{ 1}} \\ {\rm{ 2}} \\ {\rm{ 3}} \\ {\rm{ 1}} \\ {\rm{ 2}} \\ {\rm{ 3}} \\ {\rm{ 3}} \\ {\rm{ 4}} \\ {\rm{ 5}} \\ {\rm{ 5}} \\ {\rm{ 6}} \\ {\rm{ 7}} \\ \end{array} \right]\begin{array}{*{20}c} {\begin{array}{*{20}c} {\begin{array}{*{20}c} {} & {B = } \\ \end{array}\left[ \begin{array}{r} {\rm{ - 1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{0}} \\ {\rm{0}} \\ {\rm{0}} \\ {\rm{0}} \\ {\rm{0}} \\ {\rm{0}} \\ {\rm{0}} \\ {\rm{0}} \\ {\rm{0}} \\ {\rm{0}} \\ {\rm{0}} \\ {\rm{0}} \\ {\rm{0}} \\ {\rm{0}} \\ \end{array} \right]} & {F' = } \\ \end{array}\left[ \begin{array}{l} {\rm{ 1}} \\ {\rm{ 2}} \\ {\rm{ 3}} \\ {\rm{ 3}} \\ {\rm{ 4}} \\ {\rm{ 5}} \\ {\rm{ 5}} \\ {\rm{ 6}} \\ {\rm{ 7}} \\ {\rm{ 5}} \\ {\rm{ 6}} \\ {\rm{ 7}} \\ {\rm{ 7}} \\ {\rm{ 0}} \\ {\rm{ 1}} \\ {\rm{ 1}} \\ {\rm{ 2}} \\ {\rm{ 3}} \\ {\rm{ 1}} \\ {\rm{ 2}} \\ {\rm{ 3}} \\ {\rm{ 3}} \\ {\rm{ 4}} \\ {\rm{ 5}} \\ {\rm{ 5}} \\ {\rm{ 6}} \\ {\rm{ 7}} \\ \end{array} \right]} & {} \\ \end{array} \\ \\ A' = \left[ {\begin{array}{*{20}c} \begin{array}{r} {\rm{1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{1}} \\ {\rm{1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ \end{array} & \begin{array}{r} {\rm{ - 1}} \\ {\rm{0}} \\ {\rm{1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{0}} \\ \end{array} & \begin{array}{r} {\rm{ - 1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} & \begin{array}{r} {\rm{ - 1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ \end{array} \\ \end{array}} \right]\begin{array}{*{20}c} {} & {X = } \\ \end{array}\left[ \begin{array}{r} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ \end{array} \right]\begin{array}{*{20}c} {} & {B' = } \\ \end{array}\left[ \begin{array}{r} {\rm{ - 1}} \\ {\rm{ - 1}} \\ {\rm{0}} \\ {\rm{0}} \\ {\rm{0}} \\ \end{array} \right]\begin{array}{*{20}c} {} & \begin{array}{c} x_1 = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2} \\ x_2 = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 4}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 4} \\ x_3 = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 8}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 8} \\ x_4 = {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 8}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 8} \\ \end{array} \\ \end{array} \\ \end{array} \]