Гармонические числа и площадь

[e7e5]

Возник вопросик:
В декартовой с.к. для $x=1$, $x=2$, ...$x=n$ - целых, отметим соответственно значения ординат, равных : 1, 1/2, 1/3, ... 1/n, которые соединим, так что получится ломанная. Нужно найти площадь под ломаной, ограниченной осью $OX$, $x=1$, $x=n$.

Иными словами, почему гармоническое число $H_n$ - примерно

$ln n$+$1/2$+0,077$

PS Вопрос возник при чтении "Книги чисел".

[ewert]

а в чём вопрос-то: почему сумма асимптотически есть логарифм эн плюс константа?

-- так просто потому, что сумма -- интегральная

[Бодигрим]

Простейшая оценка получается, если оценить площадь под ломаной сверху и снизу, приближая ее гиперболами. Тогда получим, что $\ln n<H_n <1+\ln n$.

Добавлено спустя 50 секунд:

А что такое "Книга чисел"?

Добавлено спустя 2 минуты 53 секунды:

Доказательство того, что $\lim_{n\to\infty} (H_n-\ln n)=\gamma\approx 0{,}577\ldots$ можно найти, например, в Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. — Конкретная математика. Основание информатики в параграфе 6.3.

[e7e5]

ewert писал(а):

а в чём вопрос-то: почему сумма асимптотически есть логарифм эн плюс константа?

$ln n$+ 0,5772156+$1/(2n)$ очень близко к $H_n$. Это выводится, как понимаю из оценки $nln n$ - $n$-ое простое число.
А как тогда n-e простое оценивается, как такая оценка получается?

[ewert]

Я просто не знаю, что такое 0, 5772156... . А сама по себе подобная асимптотика с некоторой константой выглядит достаточно очевидной.

С оценками для простых чисел совершенно непонятно как это может быть связано: любые асимптотики распределения простых чисел заведомо грубы, в то время как эта формула довольно точна.

[Алексей К.]

ewert в сообщении #140743 писал(а):

Я просто не знаю, что такое 0, 5772156...

Напоминает постоянную Эйлера-Маскерони

[Бодигрим]

e7e5 в сообщении #140742 писал(а):

$ln n$+ 0,5772156+$1/(2n)$ очень близко к $H_n$

Что такое "очень близко"?

e7e5 в сообщении #140742 писал(а):

Это выводится, как понимаю из оценки $n\ln n$ - $n$-е простое число.

Почему вы так решили? У вас есть соответствующее доказательство?

[e7e5]

ewert писал(а):

С оценками для простых чисел совершенно непонятно как это может быть связано: любые асимптотики распределения простых чисел заведомо грубы, в то время как эта формула довольно точна.

Как же такая асиимптотика для распределения простых чисел получается? - $n ln n$?
Пусть грубая, но как?

[Бодигрим]

e7e5 в сообщении #140749 писал(а):

Как же такая асиимптотика для распределения простых чисел получается? - $n\ln n$?

1. Давайте выражаться определеннее. Во-первых, асимптотику для какой именно величины, связанной с простыми числами, вы рассматриваете? Вот-вторых, говоря об асимптотике, часто пишут всякие странные символы: $\asymp$ $O()$ $o()$ $\gg$ $\ll$. И это ж-ж-ж неспроста.
2. Асимптотический закон распределения простых чисел выводится весьма и весьма непростым путем. Почитать про него можно в книгах по аналитической теории чисел, например: Чандрасекхаран К. — Введение в аналитическую теорию чисел, Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. — Введение в теорию чисел или Прахар К. П. — Распределение простых чисел.

[Someone]

e7e5 писал(а):

Возник вопросик:
В декартовой с.к. для $x=1$, $x=2$, ...$x=n$ - целых, отметим соответственно значения ординат, равных : 1, 1/2, 1/3, ... 1/n, которые соединим, так что получится ломанная. Нужно найти площадь под ломаной, ограниченной осью $OX$, $x=1$, $x=n$.

Вы соединяете отрезками точки $(1,1)$, $\left(2,\frac 12\right)$, $(\left(3,\frac 13\right)$,... $\left(n,\frac 1n\right)$? Площадь под ломаной равна

$$\frac 12\left(1+\frac 12\right)+\frac 12\left(\frac 12+\frac 13\right)+\ldots+\frac 12\left(\frac 1{n-1}+\frac 1n\right)=H_n-\frac{n+1}{2n}\text{.}$$

e7e5 писал(а):

Иными словами, почему гармоническое число $H_n$ - примерно

$ln n$+$1/2$+0,077$

$$H_n=1+\frac 12+\frac 13+\ldots+\frac 1n=\ln n+C+\gamma_n\text{,}$$

где $C=0.57721566490\ldots$ - постоянная Эйлера (или Эйлера - Маскерони), $\gamma_n\to 0$ при $n\to\infty$ (Г.М.Фихтенгольц.Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том II. "Наука", Москва, 1969. Пункт 367, 10).

e7e5 писал(а):

PS Вопрос возник при чтении "Книги чисел".

Что это такое?

[ewert]

Бодигрим писал(а):

e7e5 в сообщении #140742 писал(а):

$ln n$+ 0,5772156+$1/(2n)$ очень близко к $H_n$

Что такое "очень близко"?

Это должно означать, что поправка к этой формуле есть $o(n^{-1})$.

Что весьма и весьма странно. Совершенно очевидно, что поправка к константе должна быть пропорциональна $1/n^{2}$, а вовсе не $1/n$. Следующий же член, соответственно, должен быть порядка $1/n^{3}$.

e7e5:
в асимптотиках простых чисел я, вообще-то, не разбираюсь. Но такими регулярными они точно не могут быть -- хотя бы потому, что уж шибко часто там близнецы встречаются.

[Бодигрим]

Цитата:

Это должно означать, что поправка к этой формуле есть $o(n^{-1})$.

Что весьма и весьма странно. Совершенно очевидно, что поправка к константе должна быть пропорциональна $1/n^{2}$, а вовсе не $1/n$. Следующий же член, соответственно, должен быть порядка $1/n^{3}$.

Почему "совершенно очевидно"? Вообще-то

$$ H_n = \ln n + \gamma + {1\over2n}-{1\over12n^2}+{\varepsilon_n\over120n^4} $$

, где $\varepsilon\in(0,1)$. Так что можно записать, что

$$ H_n = \ln n + \gamma + {1\over2n} + o(1/n)=\ln n + \gamma + {1\over2n} + O(1/n^2)$$

.

Цитата:

в асимптотиках простых чисел я, вообще-то, не разбираюсь. Но такими регулярными они точно не могут быть -- хотя бы потому, что уж шибко часто там близнецы встречаются.

Какими "такими"? Я пока что вообще не понял, асимптотикой чего именно является $n\ln n$. Явно уж не $n$-го простого числа.

[ewert]

Бодигрим писал(а):

Почему "совершенно очевидно"? Вообще-то

$$ H_n = \ln n + \gamma + {1\over2n}-{1\over12n^2}+{\varepsilon_n\over120n^4} $$

, где $\varepsilon\in(0,1)$.

Ну не знаю, я считал по рабоче-крестьянски, может, чего и не понял. По постановке задачи $H_n$ -- это сумма площадей трапеций, т.е., собственно, формула трапеций для интеграла от гиперболы. Другими словами:

$$ H_n=\ln n + \sum_{k=1}^{n-1}{f''(\xi_k)\over 12},$$

где $f(x)={1\over x}$ и $\xi_k\sim k+{1\over2}.$ Отброшенный хвост ряда -- это и есть поправка порядка $-{1\over12n^2}$. А вот откуда там ещё и${1\over2n}$ -- для меня загадка.

--------------------------------------------------------------------------
(впрочем, по мере выписывания появилась и отгадка -- автор, наверное, просто перепутал площадь с частичной суммой гармонического ряда)

[Бодигрим]

ewert в сообщении #140762 писал(а):

(впрочем, по мере выписывания появилась и отгадка -- автор, наверное, просто перепутал площадь с частичной суммой гармонического ряда)

Ага. Я-то про гармонический ряд говорю.

[e7e5]

Someone писал(а):

e7e5 писал(а):

PS Вопрос возник при чтении "Книги чисел".

Что это такое?

Это просто одна из книг про числа в моей библиотечке ("The Book of Numbers".)

С площадью понятно. Спасибо.
А вот почему, как первое приближение верно, что $n$-ая часть $n$-го простого числа "близка" к $n$-му гармоническому? Например для $n$=$60$
Как это из $nln n$ получается?