Эллиптический интеграл

[Asalex]

Уважаемые форумчане,
помогите посчитать интеграл

$$\int_0^w\sqrt{(1-mx^2)(1-x^2)}dx,$$

где $0<m<1.$
Мне надо выразить его через стандартные интегралы первого и второго рода

$$F(w)=\int_0^w\frac1{\sqrt{(1-mx^2)(1-x^2)}}dx,\qquad E(w)=\int_0^w\frac{\sqrt{1-mx^2}}{\sqrt{1-x^2}}dx.$$

Я нашел подобный интеграл в Byrd, Friedman, 218.11, c.57, 361.01,c.212, а также 210.01,c. 43,
но не могу разобраться какими преобразованиями он получается.

Собственно, я разобрался. На случай если кому-нибудь еще интересно, задача решается следующим образом.
Интеграл разбивается на сумму эллиптического интеграла первого рода, второго рода, и некоторой корневой функции. Значит, подынтегральное выражение надо разбить на соответствующие суммы. Самое сложное - каким образом это сделать. Здесь проще всего начать как раз с полной производной.
Если взять производную от

$$x\sqrt{(1-x^2)(1-mx^2)},$$

то из нее затем можно вычленить те члены, соответствующие подынтегральному выражению, и остатки, соответствующие интегралам первого и второго рода.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- в англоязычном заголовке при русскоязычном тексте есть какой-то особый смысл?
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[novichok2018]

Интеграл выражается через эллиптические функции, он также есть в справочнике Интегралы и ряды, т.1, с.100, ф. 13 русского издания.