дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами

[classman]

Пусть $y(x)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению

$$x(1+x)y'' + (k + (l + m + 1)x)y' + kly = 0$$

Найти функции $\alpha(x), I((\alpha(x)))$ такие что функция $z(x) = y(x)/\alpha(x)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению $z'' + I(x)z = 0$

-- 23.07.2019, 14:40 --

не могу сдвинуться, потому что не получается даже найти частное решение в виде многочлена или $e^{kx}$

[Red_Herring]

classman в сообщении #1406593 писал(а):

е могу сдвинуться, потому что не получается даже найти частное решение в виде многочлена

А зачем вам искать частное решение? Подставьте $y(x)=\beta(x) z(x)$ , распишите в виде $a(x) z'' + b(x)z' +c(x)z=0$, с коэффициентами выражающимися через $\beta$, приравняйте $b(x)$ к $0$ и найдите $\beta(x)$.

[classman]

Red_Herring в сообщении #1406598 писал(а):

classman в сообщении #1406593 писал(а):

е могу сдвинуться, потому что не получается даже найти частное решение в виде многочлена

А зачем вам искать частное решение? Подставьте $y(x)=\beta(x) z(x)$ , распишите в виде $a(x) z'' + b(x)z' +c(x)z=0$, с коэффициентами выражающимися через $\beta$, приравняйте $b(x)$ к $0$ и найдите $\beta(x)$.

спасибо, разобрался

[btoom]

Red_Herring в сообщении #1406598 писал(а):

classman в сообщении #1406593 писал(а):

е могу сдвинуться, потому что не получается даже найти частное решение в виде многочлена

А зачем вам искать частное решение? Подставьте $y(x)=\beta(x) z(x)$ , распишите в виде $a(x) z'' + b(x)z' +c(x)z=0$, с коэффициентами выражающимися через $\beta$, приравняйте $b(x)$ к $0$ и найдите $\beta(x)$.

А почему только это слагаемое? Не придираюсь, но действительно не вполне ясно и интересно.

Если расписать, то видно, что при первом слагаемом $a(x)$ достигается лишь нулевой $\alpha$. При указанном вами слагаемом решается несложный, пусть и громоздкий, диффур с разделяющимися переменными (допускающий в процессе решения кое-какой произвол с константами при логарифмах). При оставшемся слагаемом $c(x)$ действительно неопределенность в решении ОДУ второго порядка из-за коэффициентов, но можно указать варианты для разных знаков и нулевого дискриминанта.
(возможно, в спешке ошибся, не тщательно проверял)

Искомое уравнение в первом посте напоминает гипергеометрическое уравнение Гаусса.

[Red_Herring]

btoom в сообщении #1406895 писал(а):

А почему только это слагаемое?

У вас одна неизвестная функция $\beta$ и соотвенно одно слагаемое убивается