Вопрос по философии математических множеств

[frostysh]

Заранее извините за глупые вопросы...

Недавно решил немного отвлектись от поиска производных тригонометрических функций (повторяю то что не знал еще и забыл по матану) да взял и почитал книжку которую рекомендовали на этом форуме, книжку по математике о множествах, а там на самом начале пишут:

"Понятие множества на совокупности объектов является одним из самых фундаментальных в математике."

Но чтоб некое множество \large$ U $ на совокупности объектов, отделяя их по некоторому свойству от остальных, нам нужно ввести сначала эту совокупность объектов... Допустим это будет множество \large$ E $, но ведь чтобы это изобразить на какой-то совокупности нам опять нужно множество, и так далее, до бесконечности. Или в математике есть понятие и обозначение абсолютной, идеальной пустоты? — То есть свойства множества пустоты должны быть отличными от любых объектов на этому? Спасибо за ответы.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Гуманитарный раздел» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: пока сюда.

[arseniiv]

У вас какая-то интересная терминология, вы с источниками на русском языке не согласовывались?
• «Множество на совокупности объектов» — в смысле, множество, элементами которого могут быть только объекты из той совокупности?
• «Множество пустоты» — пустое множество?

Вообще современные теории множеств все аксиоматические, а когда множества вводятся в другой теории, они определяются через понятия той теории который в конце концов тоже определены аксиоматически. Если взять для примера теорию ZFC, которую общепринято использовуют для формализации конструкций с множествами в неформальном понимании, то там есть целая пачка аксиом вида «существует множество (иногда в зависимости от выбора некоторых других множеств) с такими-то свойствами». Например, «существует пустое множество» или «существует объединение всех элементов некоторого множества» или «существует множество, единственные элементы которого — два данных множества» или «существует подмножество данного множества, элементы которого выделяются данным предикатом». С помощью первых трёх уже можно получить довольно богатый класс множеств, а там и ещё есть.

[frostysh]

(Оффтоп)

Pphantom в сообщении #1406691 писал(а):

Тема перемещена из форума «Гуманитарный раздел» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: пока сюда.

Проклятье! Никак не угадаю в каком разделе создавать тему.

arseniiv



Курс математического анализа некого Камынина Л. И., (на форуме здесь, в рекомендациях накопал), также как и у Фихтенгольца начинается с множеств, только тут на более для математиков. Вообще хорошая идея давать сначала самое фундаментальное, а судя по всему, в математике это есть множество.

Вот чтобы сказать: "Существует множество!"; нужно ли нам говорить: "Существует некое универсальное множество, в котором наше множество есть подмножество."; то есть а это универсальное множество где существует? Нужно ли создавать еще одно, более универсальное множество чтобы это универсальное множество начало существовать?

Просто в математике, не то что в физике, есть супер строгая математическая логика которая все связывает, оно должно быть, не знаю, "замкнутое" как сказать, самодостаточное. В физике конечно такого нету, невозможно получить всю физику основываясь на одной математической логике, по крайней мере так написано в книге физика Стивена Вайнберга, по крайней мере я этому верю. Физика сложней чем математика, просто математики очень много. Вот поэтому у меня это "универсальное множество" (на рисунке сверху), вызвало очень много вопросов... Ну хотя, логикой математических аксиом ваш покорный слуга не сильно знаком, мягко говоря, поэтому мож я что не допонял.

[arseniiv]

frostysh в сообщении #1406709 писал(а):

Вообще хорошая идея давать сначала самое фундаментальное, а судя по всему, в математике это есть множество.

Не, математику можно строить много как. Множества — просто испытанная вещь, появившаяся первее остальных в качестве оснований.

Хорошесть идеи тоже можно подвергнуть сомнению; человеческая голова лучше цепляется за те новые вещи, у которых достаточно связей с уже известным. В одном из худших случаев она построит недостающие связи непредсказуемым образом и заложит таким образом мину.

frostysh в сообщении #1406709 писал(а):

Вот чтобы сказать: "Существует множество!"; нужно ли нам говорить: "Существует некое универсальное множество, в котором наше множество есть подмножество."; то есть а это универсальное множество где существует? Нужно ли создавать еще одно, более универсальное множество чтобы это универсальное множество начало существовать?

Ну вот вы сами себе и ответили, что надо где-то прерывать цепочку. Лучше в самом начале. Потому, как я говорил, в формальных теориях множеств есть аксиомы, говорящие, что множества с разными свойствами просто существуют (единственность, когда есть, выводится отдельно). Аналогично в синтетической геометрии, которую проходят в школе — в достаточно строгих курсах будут аксиомы типа «существуют три точки, не лежащие вместе на одной прямой» или например «между двумя несовпадающими точками на прямой найдётся ещё одна». Можете гильбертовскую аксиоматизацию посмотреть.

[frostysh]

arseniiv

Очень интересно! Математику можно строить разными способами, это ваш покорный слуга слышал когда-то, в универе кажись, но не придал этому значения. Но ведь должны быть какие-то общие штуки, типа причинно-следственность, и должны быть качественные отличия одного способа от другого. Ибо я тоже могу что-то сочинить и сказать это математика! Или как профессор Шарыпов, просто сдвинуть ноль по вещественной оси и сказать это "актуальный ноль" и строить по сути ту же самую математику но называть это по другому.

По поводу цепочки... Ага! Это Вы значит провели легкую аналогию между точками и множествами! То есть каждое точка это можно сказать множество? И если допустим мы можем "нарисовать" точку между точками, то и множество можно нарисовать вне "универсального множества", причем нарисовать сколько угодно множеств. Но нам нужно какое-то определения множества, поэтому мы эту цепочку обрываем? Хмм... Очень интересно... Посмотрю эту гамильтонову штуку, но завтра, а то капец, три часа ночи, очередной ночи над форумами, книгами и в раздумиях...

А в чем тогда эти точки размещаются? Как можно говорить о двух каких-то вещах если они размещены "ни в чем". Или это "не что", это то о чем мы говорим когда есть аксиома: "между двумя несовпадающими точками на прямой найдётся ещё одна", то есть в самой аксиоме скрыто вот это "нечто" что назвали "универсальным"? Но как тогда определить что точки совпадают? Еще одна аксиома? Брр... Это слишком абстрактно, даже для меня.

[mihaild]

frostysh, на наиболее формальном уровне, математика - это "наука о рисовании значков". Т.е. чисто синтаксические манипуляции с (конечными) строками. Для этого строят так называемые исчисления (они же формальные системы) - правила, по которым можно записывать утверждения (формулы) и по которым можно из одних формул выводить другие.
Один из простейших примеров - исчисление высказываний, формулами которого являются выражения из переменных и логических связок, например $(a \to b) \wedge c$. Более сложный (и достаточный для почти всей математики) пример - исчисление предикатов, в котором появляются кванторы, символы для обозначения предикатов и функций и т.д.
Подробнее про это можно почитать, например, в "Языках и исчислениях" Верещагина и Шеня.

frostysh в сообщении #1406752 писал(а):

По поводу цепочки... Ага! Это Вы значит провели легкую аналогию между точками и множествами!

Точки, и даже множества, тут не при чем. Это довольно очевидное свойство ациклических графов: мы не можем определить все используемые понятия без использования неопределенных понятий. Так что нам придется какое-то понятие взять неопределяемым.
Для заметной части математики в качестве такого понятия берут множество. Множество - это штука, которой что-то может принадлежать, а что-то не принадлежать (в отличии от, скажем, числа в арифметики - спрашивать, верно ли что $1 \in 2$, бессмысленно), причем выполнены некоторые свойства (аксиомы ZF или ZFC). Пытаться рассуждать о том, "что такое множество" сверх этого - бессмысленно и бесполезно.

В частности, оказывается, что "универсального" множества нет. Но оказывается что оно и не нужно.

[frostysh]

mihaild в сообщении #1406833 писал(а):

frostysh, на наиболее формальном уровне, математика - это "наука о рисовании значков". Т.е. чисто синтаксические манипуляции с (конечными) строками. Для этого строят так называемые исчисления (они же формальные системы) - правила, по которым можно записывать утверждения (формулы) и по которым можно из одних формул выводить другие.
Один из простейших примеров - исчисление высказываний, формулами которого являются выражения из переменных и логических связок, например $(a \to b) \wedge c$. Более сложный (и достаточный для почти всей математики) пример - исчисление предикатов, в котором появляются кванторы, символы для обозначения предикатов и функций и т.д.
Подробнее про это можно почитать, например, в "Языках и исчислениях" Верещагина и Шеня.

Имеет ли понятие "формально" связь с понятием "абстрактно" в данном плане? Наука о рисовании значков как мне кажется не очень абстрактно, хотя подразумевал именно абстрактность... Абстрактность есть отчужденность в моем понимании, а значок выглядит как-то более конкретно, осязаемо. Ну хотя, кажись я понял, почувствовал смысл этого формализма, ведь за этим значком можно подразумевать все что угодно по сути! То есть мы создаем некие правила логической связи значков... Скачаю книжечку, но надеюсь она подойдет человеку с нулевым уровнем математики...

mihaild в сообщении #1406833 писал(а):

Точки, и даже множества, тут не при чем. Это довольно очевидное свойство ациклических графов: мы не можем определить все используемые понятия без использования неопределенных понятий. Так что нам придется какое-то понятие взять неопределяемым.

Даже свойство такое есть, для некого математического понятия (я не знаю что такое "ациклические графы" в математике). Это абсолютно божественно! Почитаю...

mihaild в сообщении #1406833 писал(а):

Для заметной части математики в качестве такого понятия берут множество. Множество - это штука, которой что-то может принадлежать, а что-то не принадлежать (в отличии от, скажем, числа в арифметики - спрашивать, верно ли что $1 \in 2$, бессмысленно), причем выполнены некоторые свойства (аксиомы ZF или ZFC). Пытаться рассуждать о том, "что такое множество" сверх этого - бессмысленно и бесполезно.

В частности, оказывается, что "универсального" множества нет. Но оказывается что оно и не нужно.

Ого, вроде бы такой простой вопрос (по крайней мере я так думал, что оно простое), а вроде бы и не очень... Да, я сразу понял что "универсального множества" не существует в общем понимании этого слова, не зря же его автор взял в кавычки, но вот если через это универсальное множество определено наше множество, то существует ли оно? Вот такой когнитивный диссонанс у меня произошел по этому поводу. "Рассуждать о множестве сверх этого понятия", интересно, вроде логично но не особо понятно, это есть обрыв "цепочки" как я понял. Это наверное связано с ациклическими графами, окей, посмотрю, если что не пойму совсем, то спрошу.

[george66]

Делая кувырок вперёд, понял глубокую суть круглых вещей. У них внутри пустота! Стань пустым и ты будешь круглым как Будда.

[arseniiv]

frostysh в сообщении #1406752 писал(а):

Но ведь должны быть какие-то общие штуки, типа причинно-следственность, и должны быть качественные отличия одного способа от другого. Ибо я тоже могу что-то сочинить и сказать это математика!

(Надеюсь я понимаю в чём вопрос.) Ну например формализм А можно «смоделировать» средствами формализма Б и наоборот — тогда если в одном из них можно что-то выразить, то и в другом можно. И разумеется будут отличия, как минимум синтаксические. И из-за устройства человеческой головы разные, хоть и эквивалентные представления чего-нибудь часто могут давать разное для понимания.

А если вы сочините что-то переносимое (если им будет пользоваться кто-то другой, он получит в конечном итоге ровно те же результаты) и опишете достаточно человечно, то можете говорить, что это математика. Правда если у этого не будет достаточной связи с остальной математикой, скорее всего никому это не будет интересно; а если это будет притом чем-то, что уже известно, но просто изложено так, что на первый взгляд этого не заметно, то скорее всего люди будут ругаться, да. Но большей частью по не непосредственно математическим причинам.

frostysh в сообщении #1406752 писал(а):

Ага! Это Вы значит провели легкую аналогию между точками и множествами!

Про ациклический граф уже сказали, а я добавлю, что тут аналогия не какая-то специфическая, а просто это объекты теории (те вещи, которые подразумеваются возможными значениями переменных в её высказываниях). В теории множеств объекты — множества (и бывают ещё какие-нибудь другие, но множества там есть всегда), в элементарной геометрии — точки и прямые (и плоскости иногда). Соответственно, утверждения о существовании будут тогда в теории множеств говорить о существовании множеств, а в геометрии — точек и прямых.

frostysh в сообщении #1406752 писал(а):

Посмотрю эту гамильтонову штуку

И найдёте не то, потому что я говорил про Гильберта. Вообще аксиоматизаций элементарной геометрии есть немало, его просто достаточно известна и часто излагается на естественном языке, в отличие от например аксиоматики Тарского.

frostysh в сообщении #1406752 писал(а):

А в чем тогда эти точки размещаются? Как можно говорить о двух каких-то вещах если они размещены "ни в чем". Или это "не что", это то о чем мы говорим когда есть аксиома: "между двумя несовпадающими точками на прямой найдётся ещё одна", то есть в самой аксиоме скрыто вот это "нечто" что назвали "универсальным"? Но как тогда определить что точки совпадают? Еще одна аксиома? Брр... Это слишком абстрактно, даже для меня.

Вот тут уже нельзя будет говорить о вещах без упоминания языка, а я не очень готов вам объяснять про это.

Во-первых, нам просто не обязательно говорить, «где» «размещаются» объекты теории. Язык теории даёт нам делать некоторые утверждения об этих объектах, которые мы сочли нужными уметь им выразить, и для, скажем, доказательства признаков равенства треугольника не нужно знать таких вещей. А если мы начнём их вводить, то скорее всего они никак не увяжутся с тем, что уже было.

О совпадении (равенстве; внимание, когда в школе говорят «треугольники равны», обычно понимается конгруэнтность — возможность перевести одну фигуру в другую движением плоскости) тоже говорят аксиомы, но обычно равенство одних вещей связывается с равенством других, и в задачах некоторые равенства мы постулируем. Плюс включаются ещё и логические аксиомы равенства, не специфические для теории. Однако о равенстве вещей тоже говорить не обязательно и бывают теории, в язык которых равенство не входит.

Для неформального же использования равенства хватает определения, приписываемого Лейбницу: две вещи равны тогда и только тогда, когда какое угодно высказывание об одной эквивалентно такому же высказыванию о другой.

frostysh в сообщении #1406752 писал(а):

Это слишком абстрактно, даже для меня.

Ну, это математика, в ней всё должно быть описано в точности, а вы к этому ещё не привыкли как следует. Кроме того вы задались неподъёмным вопросом, который притом для понимания математики почти в любом смысле слова «понимание» и не нужен. Основания математики, reverse mathematics, логика — это всё отдельная область, глубокая и непосредственно не связанная с другими. Тот багаж умений, который должен быть у математика, не имеет к этой области оснований и формализаций прямого отношения.

frostysh в сообщении #1406844 писал(а):

Имеет ли понятие "формально" связь с понятием "абстрактно" в данном плане?

«Формально» это значит на наиболее точном, детальном и низком уровне, таком, операции на котором достаточно просто точно алгоритмизировать и доверить например компьютеру или какому угодно человеку, согласившемуся действовать в рамках каких-то точно описанных достаточно простых правил. А абстрактность вы вообще, по-моему, понимаете превратно, частью как синоним диванософии (псевдофилософских переливаний слов в непринуждённой обстановке, рефлексируемых часто как что-то более важное). Абстрактное, грубо говоря, это то, у чего много частных случаев. Здесь трудно давать определения, потому что нужно сначала получить понимание на примерах. Коническое сечение абстрактнее чем эллипс, который абстрактнее чем окружность, которая абстрактнее чем единичная окружность. Утверждение о конических сечениях автоматически даст и утверждение об окружностях, но есть утверждения об окружностях, неверные для произвольного конического сечения.

frostysh в сообщении #1406844 писал(а):

То есть мы создаем некие правила логической связи значков...

Да, это одна из возможностей и целей математики — говорить только о тех соотношениях/свойствах/etc., которые интересно, отделяя от всего возможного остального. Это и достигается описанием того, что можно с чем делать, и для этого в принципе не обязательны основания в смысле той же теории множеств. Внутриматематическое отношение к этому, конечно, шире и интереснее, но сначала надо научиться плавать, а потом уже надевать акваланг.

frostysh в сообщении #1406844 писал(а):

Это наверное связано с ациклическими графами, окей, посмотрю, если что не пойму совсем, то спрошу.

Вообще графы не нужно привлекать чтобы объяснить это. Но теория графов описывает упомянутую сторону явления в чистом виде. (Вот это тоже иллюстрация и того, что такое абстракция, и вопроса оснований. Только у меня нет надежды, что вы не начнёте придумывать лишние связи вместо того чтобы увидеть простую и прямую.)

И тут ничего в принципе нельзя добавить: если мы хотим с чего-то начинать, мы не можем постоянно сводить одно к другому, тут никакое чтение о графах, по-моему, ничего прозрачнее не сделает. Надо сначала научиться останавливаться.

-- Ср июл 24, 2019 21:41:39 --

arseniiv в сообщении #1406918 писал(а):

но сначала надо научиться плавать, а потом уже надевать акваланг

И, продолжая эту аллегорию, чтобы научиться плавать, надо сначала войти в воду. Ходить для этого вокруг озера и смотреть по сторонам и, например, рассматривать пляж в микроскоп, не поможет. Ну может единицам, но те единицы в таком положении почему-то никогда не оказываются, они переплывают Ла-Манш к тому моменту.

-- Ср июл 24, 2019 21:44:30 --

frostysh
И ещё раз напомню вам сначала вчитаться, потом разобраться, действительно ли у вас были те вопросы, которые вам казались, насколько они были отвечены, почитать конкретную литературу о конкретных вещах, потом вернуться к своим неоформленным вопросам и сделать из них что-то компактное и спросить наконец так, чтобы по возможности не требовался предыдущий контекст. Тогда это может быть и будет продуктивным. А на пространные вопросы эффективных ответов вы получить не сможете, это вообще невозможно.

-- Ср июл 24, 2019 21:45:59 --

И плюс к этому ещё раз напомню, что скорее всего вам не нужно пытаться разобраться в основаниях математики. Без всяких аллегорий. У вас недостаточно опыта, чтобы понять те вопросы, которые они изучают.

[beroal]

arseniiv в сообщении #1406721 писал(а):

Вот чтобы сказать: "Существует множество!"; нужно ли нам говорить: "Существует некое универсальное множество, в котором наше множество есть подмножество."; то есть а это универсальное множество где существует? Нужно ли создавать еще одно, более универсальное множество чтобы это универсальное множество начало существовать?

Вы задаёте правильные вопросы, просто автор предпочёл их замять. Да, чтобы выделить множество по свойству, нужно выделять его из другого множества. Это позволяет аксиома выделения. Другие аксиомы теории множеств позволяют конструировать множества другими способами.

Но это не относится к математическому анализу, это относится к теории множеств и должно быть описано в другом учебнике, ссылка на который должна быть в учебнике по математическому анализу. Вся глава 1 того учебника относится к теории множеств.

Если вас интересуют формальные основания математики, то на данный момент, по-моему, лучше всего брать какой-нибудь учебник по дискретной математике с уклоном в логику. Там изложено только то, что нужно для практики математических рассуждений, без захода в теоретическую логику, и на примерах из математики.

[warlock66613]

beroal в сообщении #1407064 писал(а):

Да, чтобы выделить множество по свойству, нужно выделять его из другого множества. Это позволяет аксиома выделения.

Теория множеств не кончается аксиомами. Так что хотя для произвольного свойства исходное множество необходимо, но многие конкретные свойства позволяют образовать множества и сами по себе.

[frostysh]

arseniiv в сообщении #1406918 писал(а):

Ну, это математика, в ней всё должно быть описано в точности, а вы к этому ещё не привыкли как следует. Кроме того вы задались неподъёмным вопросом, который притом для понимания математики почти в любом смысле слова «понимание» и не нужен. Основания математики, reverse mathematics, логика — это всё отдельная область, глубокая и непосредственно не связанная с другими. Тот багаж умений, который должен быть у математика, не имеет к этой области оснований и формализаций прямого отношения...

Спасибо что потратили время, прочитал все.

Да, да, вот поэтому математика мне и кажется простой но непонятной в смысле огромной и запутанной. Оно намного точней чем наука, чем физика например, намного точней чем мир людей. Истина в математической логике это всегда истина, нету вероятности что это не истенно. На счет не связана не понял, вообще думал что слово "математика" очень абстрактно и должно быть связано со всем что можно назвать этим словом, то есть должна быть какая-то связь, не все же в мире можно назвать математикой. Окружность связано с коническими сечениями в том плане что ее можно так получить, но общие свойства на то и общие, что должны непременно быть, а локальные свойства в каждого объекта могут отличатся, они не такие абстрактные, в эллипса фокусы не совпадают, в окружности совпадают, но в обеих случаях какие-то фокусы есть, это я понимаю как абстракция — и это мне очень нравится в математике! В реальности также всегда мыслил, в очень абстрактном плане. Я не собераюсь быть математиком, и врядли у меня такое получится, мне бы просто в аспирантуру куда-то вступить, чтобы хоть что-то платили, но проблема в том, что когда я учусь-повторяю, постоянно забираюсь в абстрактные дебри, а математика как не крути, тут как тут! Без этого никак у меня не выходит... Вот и скачал книгу об абстрактном формализме ту что посоветовали, (буду теперь это так называть, есть формализмы менее абстрактны, есть более).

Кстати, а почему это ваш покорный слуга перепутал Гамильтона с Гильбертом?

beroal в сообщении #1407064 писал(а):

Вы задаёте правильные вопросы, просто автор предпочёл их замять. Да, чтобы выделить множество по свойству, нужно выделять его из другого множества. Это позволяет аксиома выделения. Другие аксиомы теории множеств позволяют конструировать множества другими способами.

Но это не относится к математическому анализу, это относится к теории множеств и должно быть описано в другом учебнике, ссылка на который должна быть в учебнике по математическому анализу. Вся глава 1 того учебника относится к теории множеств.

Если вас интересуют формальные основания математики, то на данный момент, по-моему, лучше всего брать какой-нибудь учебник по дискретной математике с уклоном в логику. Там изложено только то, что нужно для практики математических рассуждений, без захода в теоретическую логику, и на примерах из математики.

Спасибо. Учебник уже скачан — Верещагин и Шень, по рекомендации, и даже прочитано самое предначало, буду теперь как-то думать вписывать этот учебник в свой график. Хотя какой график? Я просто как всегда, изучаю то что нравится, ломая при этом режим сон-активность...

[vpb]

frostysh в сообщении #1406709 писал(а):

некого Камынина Л. И.,

Камынин --- далеко не "некий". Погуглите. Учебник его достаточно хороший (правда, это всё же больше конспект). (Если Вы не знали, слово "некий" в русском языке имеет, как говорится, отрицательные коннотации).

[frostysh]

vpb в сообщении #1407113 писал(а):

frostysh в сообщении #1406709 писал(а):

некого Камынина Л. И.,

Камынин --- далеко не "некий". Погуглите. Учебник его достаточно хороший (правда, это всё же больше конспект). (Если Вы не знали, слово "некий" в русском языке имеет, как говорится, отрицательные коннотации).

Извините если что, но у меня никакого отрицательного подтекста не было, просто слово "некий" это своего рода подтекст заинтересованности, вот много всяких учебников, но порекомендовали именно учебник этого некого конкретного Камынина. Я не особо русский язык знаю, да языкознание в плане языков вообще, это не мое.