Модулярная арифметика-2

[nnosipov]

Для каждого простого числа $p$ вычислите сумму

$$S=\sum_{a=0}^{p-1}\frac{1}{a^3+a^2-2a-1}$$

по модулю $p$.

P.S. Для некоторых (каких?) $p$ в рассматриваемой сумме будет несколько (сколько?) "плохих" слагаемых. Их нужно просто проигнорировать и находить сумму всех остальных.

[maxal]

Используя мультисекцию, имеем:

$$S=-1+(p-1)\sum_{k\geq 0} [x^{(p-1)k}]\ \frac{1}{x^3+x^2-2x-1}.$$

Дальше надо разлагать дробь на простейшие и смотреть на коэффициенты при степенях кратных $p-1$.

[nnosipov]

maxal в сообщении #1406602 писал(а):

Дальше надо разлагать дробь на простейшие

Да, в этой задаче все более-менее стандартно (очень похоже на то, как с помощью вычетов вычисляются конечные тригонометрические суммы). Но, так как здесь знаменатель дроби имеет весьма специальный вид (какой именно, догадаться не сложно будет), ответ удается выписать в очень компактной форме. Собственно, этот самый ответ и есть самое интересное в задаче.