Относительная скорость возрастания в последовательности

[e7e5]

Хотелось бы узнать относительную скорость возрастания максимальных в ряду чисел последовательности A162206. В "Энциклопедии целочисленных последовательностей" говорится: "For $n \ge 3$, this polynomial is the Poincaré polynomial (or growth series) for the reflection group (or Weyl group, or finite Coxeter group) $D_n$."

Максимальные числа в каждом ряду суть числа $M(n)$ (здесь $n$ - номер ряда):
$1,2,6,30,212,1924,21280,$
Рассмотрим отношения:
$\frac {6} {2} = 3$;

$\frac {30} {6} =5$;

$\frac {212} {30}=7,06666667$;

$\frac {1924} {212}=9,0754717$;

$\frac {21280} {1924}=11,0602911$

Какое соотношение верно для больших $n$
$\frac {M_{n+1}} {M_{n}} \approx ?$

[mihiv]

Можно получить верхнюю оценку для этого отношения.
Явная формула для полинома имеет вид:

$$P(n,x)=(1+x+\dots +x^{n-1})\prod \limits _{i=1}^{n-1}(1+x+\dots +x^{2i-1})$$

Пусть $Q(x)$- произвольный полином, обозначим максимальный коэффициент полинома $M[Q(x)]$. При получении оценки будем использовать два очевидных свойства величины $M[Q]:1. M[x^kQ(x)]=M[Q(x)]$ для любого натурального $k$ и 2. Если $Q(x)=Q_1(x)+Q_2(x)$, то $M[Q(x)]\leq M[Q_1]+M[Q_2]$.
Полином $P(n+1,x)$ можно представить в виде:

$$P(n+1,x)=(1+x+\dots +x^n)(1+x+\dots +x^{2n-1})\prod \limits _{i=1}^{n-1}(1+x+\dots +x^{2i-1})$$

Учитывая теперь, что $1+x+\dots +x^{2n-1}=(1+x+\dots +x^{n-1})+x^n(1+x+\dots +x^{n-1})$, а также выражение для полинома $P(n,x)$ получим:

$$P(n+1,x)=(1+x+\dots +x^{2n-1})P(n,x)+x^nP(n,x)+x^{2n}P(n,x)\eqno (1)$$

Используем свойства 1. и 2. величины $M$ и получим из равенства (1):

$$M_{n+1}\leq 2nM_n+M_n+M_n$$

или

$$\dfrac {M_{n+1}}{M_n}\leq 2n+2$$

$(M_n\equiv M[P(n,x)])$

[e7e5]

mihiv в сообщении #1405760 писал(а):

Можно получить верхнюю оценку для этого отношения.

$$\dfrac {M_{n+1}}{M_n}\leq 2n+2$$

Спасибо, это здорово! Но можно ли еще улучшить результат?
Для указанных чисел можно найти статистические параметры распределения:
$E(X_{inv})=\frac {n(n-1)} {2}$, $V(X_{inv})=\frac {4n^3-3n^2-n} {36}$.

[mihiv]

Несколько первых отношений свидетельствуют в пользу $\dfrac {M_{n+1}}{M_n}\approx 2n-1$, но, конечно, всякое может быть.