дифференциальное уравнение

[zoo]

Расмотрим скалярное уравнение
$\dot x=x+f(t,x),\quad f(t,x)\in C^\infty(\mathbb{R}_+\times \mathbb{R}),\quad |f(t,x)|\le \phi(t)\to 0$ при $t\to+\infty$
Доказать, что уравнение имеет решение $x(t)$ ограниченное при $t\ge 0$ т.е. $\sup_{t\ge 0}|x(t)|<\infty.$

[ddn]

zoo писал(а):

Расмотрим скалярное уравнение
$\dot x=x+f(t,x),\quad f(t,x)\in C^\infty(\mathbb{R}_+\times \mathbb{R}),\quad \sup_{(t,x)\in \mathbb{R}_+\times \mathbb{R}} |f(t,x)|< \infty$
Доказать, что уравнение имеет решение $x(t)$ ограниченное при $t\ge 0$ т.е. $\sup_{t\ge 0}|x(t)|<\infty$

Это конечно неверно.

Пусть $-\infty<C_-=\inf\limits_{(t,x)\in \mathbb{R}_+\times \mathbb{R}}f(t,x)\leqslant f(t,x)\leqslant\sup\limits_{(t,x)\in \mathbb{R}_+\times \mathbb{R}}f(t,x)=C_+<+\infty$, где очевидно $C_-\leqslant C_+$
Тогда, решение при $x\geqslant x_0$, где $x_0>-(C_-)$, будет:
$\frac{dx}{x+C_+}\leqslant\frac{dx}{x+f(x,t)}=dt\leqslant\frac{dx}{x+C_-}$
$\int\limits_{x_0}^{x}\frac{dx'}{x'+C_+}\leqslant\int\limits_{t_0}^{t}dt\leqslant\int\limits_{x_0}^{x}\frac{dx'}{x'+C_-}$
$\ln(\frac{x+C_+}{x_0+C_+})\leqslant(t-t_0)\leqslant\ln(\frac{x+C_-}{x_0+C_-})$ при $x\geqslant x_0$ и $t\geqslant t_0$, далее
$x_0\leqslant(x_0+C_-)e^{t-t_0}-C_-\leqslant x(t)\leqslant(x_0+C_+)e^{t-t_0}-C_+$
что дает
$\lim\limits_{^{t\to+\infty}_{(t\geqslant t_0)}}((x_0+C_-)e^{t-t_0}-C_-)=sign(x_0+C_-)\infty=+\infty$ значит:
$\lim\limits_{^{t\to+\infty}_{(t\geqslant t_0)}}x(t)=+\infty$ и $\sup_{t\ge 0}x(t)=+\infty$

[zoo]

ddn писал(а):

Это конечно неверно.

товарищ, я уже давно исправил условие (pardon)

[ewert]

zoo писал(а):

ddn писал(а):

Это конечно неверно.

товарищ, я уже давно исправил условие (pardon)

Всё равно какая-то загадка. При вполне разрешённом $f\equiv0$ имеем $x(t)=C\,e^t$.

[Brukvalub]

ewert в сообщении #140523 писал(а):

Всё равно какая-то загадка. При вполне разрешённом $f\equiv0$ имеем $x(t)=C\,e^t$.

А если положить С=0 ?

[ewert]

Brukvalub писал(а):

ewert в сообщении #140523 писал(а):

Всё равно какая-то загадка. При вполне разрешённом $f\equiv0$ имеем $x(t)=C\,e^t$.

А если положить С=0 ?

тады всё выйдет O.K., но условием задачи это не предусмотрено

[ddn]

zoo писал(а):

ddn писал(а):

Это конечно неверно.

товарищ, я уже давно исправил условие (pardon)

А что это меняет?

Разве из $|f(t,x)|\le \phi(t)\to 0$ при $t\to+\infty$ не следует $\sup_{(t,x)\in \mathbb{R}_+\times \mathbb{R}}|f(t,x)|<+\infty$ ...и далее, по списку?

Наоборот, нужно увеличить $f(x,t)$, нужно взять хотя бы $f(x,t)>Cx^{1+\epsilon}$,
или $f(x,t)>Cx\cdot\ln^{1+\epsilon}(x)$, или типа того (здесь $C>0$ и $\epsilon>0$).

Тогда $x(t)$ будет ограничено при $t\geqslant t_0$ для некоторого $t_0$.
Подобрав постоянную интегрирования, можно сделать допустимым $t_0\leqslant 0$.

[ewert]

я всё же сильно подозреваю, что zoo имел в виду $x'=-x+\dots$ .

[Brukvalub]

ewert в сообщении #140526 писал(а):

тады всё выйдет O.K., но условием задачи это не предусмотрено

Где не предусмотрено?

[ewert]

Brukvalub писал(а):

ewert в сообщении #140526 писал(а):

тады всё выйдет O.K., но условием задачи это не предусмотрено

Где не предусмотрено?

В условии. Там нет ничего про нач. усл.. Вы что, издеваетесь?

(учитывая, что задача-то потенциально содержательна)

[ddn]

ewert писал(а):

я всё же сильно подозреваю, что zoo имел в виду $x'=-x+\dots$ .

Да, правильно.
Это $t(x)$ будет ограниченным при $f(x,t)>C(x-x_0)^{1+\epsilon}$, или при $f(x,t)>C(x-x_0)\cdot\ln^{1+\epsilon}(x-x_0)$ - после точки расходимости $x>x_0$, (где $x_0>0$), так как $\int\limits_{x_0+\delta}^{+\infty}\frac{dx}{x+f(x,t)}<+\infty$ - сходимость при $x\to+\infty$.

а $x(t)$ будет ограниченным при $|f(x,t)+x|<(x_0-x)\ln(x_0-x)$ - до точки расходимости $x<x_0$, так как $\int\limits_{0}^{x_0}\frac{dx}{x+f(x,t)}=+\infty$ - расходимость при $x\to x_0$.

[Brukvalub]

ewert в сообщении #140532 писал(а):

В условии. Там нет ничего про нач. усл.. Вы что, издеваетесь?

(учитывая, что задача-то потенциально содержательна)

Нет, я не издеваюсь.
Вот условие:

zoo в сообщении #140510 писал(а):

Расмотрим скалярное уравнение
$\dot x=x+f(t,x),\quad f(t,x)\in C^\infty(\mathbb{R}_+\times \mathbb{R}),\quad |f(t,x)|\le \phi(t)\to 0$ при $t\to+\infty$
Доказать, что уравнение имеет решение $x(t)$ ограниченное при $t\ge 0$ т.е. $\sup_{t\ge 0}|x(t)|<\infty.$

Выделение - мое.

[Echo-Off]

ewert в сообщении #140532 писал(а):

В условии. Там нет ничего про нач. усл.. Вы что, издеваетесь?

В условии сказано: доказать, что существует хотя бы одно ограниченное решение. При $C=0$ получаем ограниченное решение

[Brukvalub]

Echo-Off в сообщении #140538 писал(а):

В условии сказано: доказать, что существует хотя бы одно ограниченное решение. При $C=0$ получаем ограниченное решение

Вот-вот, и я о том же глаголю, а мне - "издеваетесь"?:shock: Издеваюсь я куда как изощрённее!

[ddn]

Echo-Off писал(а):

ewert в сообщении #140532 писал(а):

В условии. Там нет ничего про нач. усл.. Вы что, издеваетесь?

В условии сказано: доказать, что существует хотя бы одно ограниченное решение. При $C=0$ получаем ограниченное решение

Так ведь нужно для любой $f(x,t)$, а не только для $f(x)\equiv 0$. Нужны правильные ограничения на функцию.