Параллельный перенос

[sergey zhukov]

Можно ли параллельный перенос представлять так:

Вместо натянутой нитки для построения геодезической используем портновский метр (гибкая узкая лента). Расчертим этот метр параллельными линиями вдоль всей длины (например, можно использовать уже имеющиеся штрихи сантиметровых делений). Эти деления будут параллельно переносимым вектором. Если такую ленту максимально плотно приложить к искривленной двумерной поверхности (можно и без натяжения), то она ляжет вдоль геодезической. Штрихи на ленте покажут, как происходит параллельный перенос вектора на этой поверхности вдоль полученной геодезической.

[Утундрий]

Имхо, наглядней всего рассмотреть какое-нибудь вложение вида $\mathbb{R}^n \ni x \to {\mathbf{r}}\left( x \right) \in \mathbb{E}^N $ и начать его неистово частно дифференцировать. Уже на вторых производных вылезут коэффициенты связности

$${\mathbf{r}}_{,\mu \nu } = \Gamma _{\mu \nu }^\alpha {\mathbf{r}}_{,\alpha } + \text{не относящиеся к вопросу слагаемые}$$

Отсюда, кстати, весьма легко и просто выводится закон преобразования гамм при замене координат.

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1405203 писал(а):

Эти деления будут параллельно переносимым вектором.

Это как и почему?

[arseniiv]

Опять неявно метрику включили.

[Утундрий]

arseniiv в сообщении #1405237 писал(а):

Опять неявно метрику включили

Не знаю в чей это огород, но я "включил метрику" вполне осознанно. Сходу и симметричная и метрическая связность - нормальное начало. А дальше пусть обобщает как хочет. Тем более, что и не особо-то обобщишь...

[sergey zhukov]

Munin
По моему, все штрихи на ленте (они идут перпендикулярно ленте, как шпалы рельс, а можно их нарисовать и под углом, лишь бы они были параллельны друг другу) остаются параллельными независимо от того, прикладывается ли лента к плоскости или к искривленной поверхности. Если лента нерастяжима, ее внутренняя геометрия остается плоской.
Я не уверен, что все правильно понимаю, поэтому это не утверждение, а вопрос.

[Утундрий]

sergey zhukov
Вы просто где-то вычитали (я знаю, где), что угол между направлением переноса и вектором при параллельном переносе остается постоянным. Но доказать этого не можете. Потому что когда сможете, не будет вопроса.

[arseniiv]

Утундрий в сообщении #1405238 писал(а):

Не знаю в чей это огород

В огород того, кто тему поднял спустя пять лет как она заглохла вместо создания новой, тем более что всё нужное в том посте вроде уже было и нет разницы куда его.

А вообще подобная приблизительная наглядная конструкция не нова: https://en.wikipedia.org/wiki/Schild%27s_ladder.

[Утундрий]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1405252 писал(а):

В огород того, кто тему поднял спустя пять лет как она заглохла

Ну, неужели такие мелочи способны остановить особый взлет свободной мысли... Лично я за всяческое перетирание всего и вся. А вдруг что-то новое вымелется?

[arseniiv]

(Оффтоп)

Но раз контекст старой темы никак не используется, разницы нет. Чисто для простоты обсуждения лучше отделить это. На само же обсуждение это никак не повлияет.

[sergey zhukov]

Я далек от мысли что-то доказывать, ведь про параллельный перенос узнал всего пару дней назад. Даже не очень хорошо понимаю, что это такое и в чем его важность. В этой теме мне показалось, что про него хорошо написано.
Я пока почти совершенно не понимаю математики римановой геометрии и даже смысла основных понятий.

[Pphantom]

Выделено из «Что такое связность?»

sergey zhukov, замечание за оффтопик: не надо задавать новые вопросы в древних темах, тем более когда вопрос с предыдущей темой почти никак не связан.

[sergey zhukov]

Pphantom

Принял. Но по моему, вы вырезали все самое нужное. Munin хорошо и полно написал про связность в этой теме, так отчего же ее не продолжить? Я хотел уточнить только, правильно ли я понял его мысль. Но, видимо, вышло коряво и со стороны кажется, что я вообще не о том начал. Извиняюсь.

Еще по поводу связности хотел уточнить. Если нам нужно параллельно перенести вектор вдоль некоторой кривой на, скажем, двумерной поверхности, то достаточно сделать так: вырезать из этой поверхности узкую ленту вдоль кривой переноса, уложить эту ленту на плоскость (с лентой это всегда можно сделать, она ляжет на плоскость, хотя может оказаться и не прямой) и перенести вектор вдоль кривой по плоскости. А затем опять вклеить ленту в поверхность. В этом смысл паралельного переноса?

[Утундрий]

sergey zhukov
Скажите, Вы считать собираетесь или формулировка размахивать? От ответа зависит структура дальнейших советов.

[sergey zhukov]

Считать не собираюсь.