Задача на доказательство делимости

[Unknown_reader]

Доброго времени суток! Встретился с задачей, которая звучит так:

Докажите, что $2222^5^5^5^5 + 5555^2^2^2^2$ делится на 7.

Понял что нужно привести выражение к виду:

$(317 \cdot 7 + 3)^5^5^5^5 + (793 \cdot 7 + 4)^2^2^2^2$

И после этого соответственно:

$3^5^5^5^5 + 4^2^2^2^2$

После рассматриваем остаток от деления на 7 каждого из слагаемых.
По идее сумма их остаток должна равняться нулю.

я нашел что остаток от деления $3^5^5^5^5$ на 7 равен 4, но остаток от деления
$4^2^2^2^2$ у меня получается равен 1, что и не позволяет решить задачу, как мне быть?

Буду благодарен если поясните что я упускаю.

[gris]

Я бы ещё немного преобразовал выражение.

[Null]

Unknown_reader в сообщении #1404190 писал(а):

я нашел что остаток от деления $3^5^5^5^5$ на 7 равен 4, но остаток от деления
$4^2^2^2^2$ у меня получается равен 1,

У меня получается по другому и то и то.

[Unknown_reader]

Null
Какие действия нужно выполнить для получения корректного результата?

[Andrey A]

Unknown_reader
Вспомните про функцию Эйлера. Основания степеней берутся по $\mod 7$, а показатели по ...

[Someone]

Посмотрите, какие остатки при делении на $7$ дают степени $3^0$, $3^1$, $3^2$, $3^3$, …

[Prisma]

продолжая Someone
образуют периодическую последовательность {1,3,2,6,4,5} пересчёт от 0 до 5
для степени 4 {1,4,2} пересчёт от 0 до 2
5555 \mod 6 = 5

$3^{5555}$ \mod 7 = 5

2222 \mod 3 = 2

$4^{2222}$ \mod 7 = 2

[nnosipov]

Unknown_reader в сообщении #1404190 писал(а):

И после этого соответственно:

$3^5^5^5^5 + 4^2^2^2^2$

Обратите внимание на число $3^5+4^2$.

gris в сообщении #1404199 писал(а):

Я бы ещё немного преобразовал выражение.

Заметил, что студенты почему-то не любят пользоваться этой формулой. Забывают они ее, что ли? А ведь это, по существу, единственная формула из школьной алгебры.