Вопрос по теорверу

[stiv1995]

Пусть $X, Y$ -- две независимые центрированные случайные величины, такие что $P[ X + Y \in (-c, c)] \ge 1 - \delta$ и кроме того (a) $P[ X \in (-c, c)] \ge 1 - \delta$ и (b) $P[ X \in (-c, c)] \ge 1 - \delta$.

Верно ли что для любых $a_1, a_2 \in [0, 1]$ справедливо $P[ a_1X + a_2Y \in (-c, c)] \ge 1 - \delta$?

Я могу показать, что без условий (a) и (b) утверждение точно неверно, но вот достаточно ли их, я пока не понимаю.

[LMA]

stiv1995 в сообщении #1403607 писал(а):

Я могу показать, что без условий (a) и (b) утверждение точно неверно

Покажите это, пожалуйста.
Мне кажется, что лишним является первое условие --- подобное условие должно следовать из (a) и (b).

[stiv1995]

LMA в сообщении #1403632 писал(а):

Покажите это, пожалуйста.

Пусть $X = \begin{cases} 100 & \text{w.p. } 0.5 \\ -100 & \text{w.p. } 0.5 \end{cases}$, $Y = \begin{cases} 100 & \text{w.p. } 0.5 \\ -100 & \text{w.p. } 0.5 \end{cases}$, притом $X$ и $Y$ независимы. Тогда $P[X + Y \in (-1, 1)] = 0.5$, но $P[0.5X + Y \in (-1, 1)] = 0$.

LMA в сообщении #1403632 писал(а):

Мне кажется, что лишним является первое условие --- подобное условие должно следовать из (a) и (b).

Условий (a) и (b) отдельно тоже не хватит, из них можно только показать, что $X + Y \in (-2c, 2c)$ c вероятностью как минимум $1 - 2\delta$.

[LMA]

Вот пример:
$X=\begin{cases} 100 & \text{w.p. } 1/3 \\ 0 & \text{w.p. } 1/3 \\ -100 & \text{w.p. } 1/3 \end{cases}$, $Y=\begin{cases} 100 & \text{w.p. } 1/3 \\ 0 & \text{w.p. } 1/3 \\ -100 & \text{w.p. } 1/3 \end{cases}$.
$P[X + Y \in (-1,1)]=1/3$ и $P[0.5X + Y \in (-1,1)]=1/9$.

[DeBill]

Грубо оценивается как "вероятность не менее $1-3\delta$".
Более аккуратное посмотрение на области, составляюшие противоположные события, показывает, что можно получить и " не менее $1-2\delta$".
Пример LMA, видимо, можно модернизировать до получения того, что такая оценка - точная.

[Red_Herring]

(а) и (б) хватает.

1) Действительно, из (б) следует, что $\mathsf{P}(|aX+bY|<c)\ge 1-\delta$ при $a\ge 0,b\ge 0, a+b\le 1$.


2) Пусть $0\le a_1\le a_2\le 1$, тогда применим 1) к $a(Х+Y)+(a_2-a_1)Y$.

[DeBill]

Red_Herring
Противоречит примеру LMA.
Есть некая путаница в обозначениях:
Пусть будет так:
а) - условие на ИКС
б) - условие на Y (видимо. Считает что у ТС здесь опечатка)
0) - условие на сумму (так обозначим)
Тогда: при выводе 1) либо таки использовалось 0) (и тогда вывод 2) не сработает (считаем, что там опечатки: в скобке стоит сумма, пропущен индекс "1"), ибо он использует а), налагаемое на сумму, т.е., 0), а соответствующего условия 0) для пары $X+Y,Y$ теперь нет), либо предполагалась положительность сл.величин (а ее также нет)
Но и то, что писал я, возможно, тоже неточно: я совершенно забыл про условие ТС о центрированности.

[Red_Herring]

DeBill
Что противоречит? Пусть будут Ваши обозначения. Мое утверждение

1) в этом случае вытекает из (а)+(б), заметим, что я налагаю доп условие $a+b\le 1$ здесь

2) в этом случае вытекает из (а)+(б)+(0)

[--mS--]

Red_Herring в сообщении #1403857 писал(а):

Что противоречит? Пусть будут Ваши обозначения. Мое утверждение
1) в этом случае вытекает из (а)+(б), заметим, что я налагаю доп условие $a+b\le 1$ здесь

В примере LMA (a)+(b) выполнены с $\delta=2/3$, но $\mathsf P(|0{,}2X+0{,}8Y|<1) = 1/9<1-\delta$.

[Red_Herring]

--mS--
Действительно, я не прав. Как говорится, бес попутал

[DeBill]

Red_Herring
Ну, если аккуратно проводить рассуждение 1), то, видимо, имелось в виду следующее:
Из "а) И б)" (при тех ограничениях на $a,b$) следует нужное нам в).
Поэтому вероятность в) не меньше вероятности события "а) И б)" .
Это дает оценку на вероятность в):
в случае независимых - она не мене $(1-\delta)^2=1-2\delta+\delta^2$
в общем случае - она не менье $1-2\delta.$
Тогда пункт 2) (в нем уже нет независимости, и нужно условие 0)) дает лишь вторую, худшую, оценку. И, мне так кажется, что это и есть максимум чего мы могем достичь...