2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнение Прока и его обобщение
Сообщение29.06.2019, 16:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
Речь пойдет об уравнении для массивного векторного поля $f_\mu$. Лагранжиан, приводящий к сабжу, содержит свертки $f_\mu  f^\mu$ и $\left( {f_{\mu ,\nu }  - f_{\nu ,\mu } } \right)\left( {f^{\mu ,\nu }  - f^{\nu ,\mu } } \right)$. Варьируя, получаем уравнение (Прока), в котором ток пропорционален потенциалу.

Я обратил внимание на весьма специфический вид второй свертки. Такое впечатление, что одним из руководящих принципов было не допустить ни под каким видом появления в лагранжиане символов Кристоффеля, которые могут попортить каноническое выражение для ТЭИ.

А что, если не побояться, да и... рассмотреть всевозможные свертки второй степени: $f_{\mu ;\nu } f^{\mu ,\nu } $, $f_{\mu ;\nu } f^{\nu ,\mu } $ и $\left( {f^\mu  _{;\mu } } \right)^2 $ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Прока и его обобщение
Сообщение30.06.2019, 09:35 
Заслуженный участник


25/01/11
394
Урюпинск
Утундрий в сообщении #1402198 писал(а):
Такое впечатление, что одним из руководящих принципов было не допустить ни под каким видом появления в лагранжиане символов Кристоффеля, которые могут попортить каноническое выражение для ТЭИ.

Нет. Руководящий принцип --- это чтобы векторное поле описывало спин 1, а не просто массивное векторное поле.

Утундрий в сообщении #1402198 писал(а):
А что, если не побояться, да и... рассмотреть всевозможные свертки второй степени: $f_{\mu ;\nu } f^{\mu ,\nu } $, $f_{\mu ;\nu } f^{\nu ,\mu } $ и $\left( {f^\mu  _{;\mu } } \right)^2 $ ?


Рассмотрите. Если обобщаете на взаимодействие с э-м полем и/или гравитацией, то можно добавить слагаемые с напряжённостью э-м поля и кривизной. С точностью до интегрирования по частям второе и третье слагаемые эквивалентны, если нет взаимодействия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Прока и его обобщение
Сообщение01.07.2019, 03:44 


20/07/18
367
Утундрий
Так это же просто обощение максвелла, оно изначально в плоском ПВ. Если модифицировать для искривленного, то можно по-вяскому добавлять хоть кривизну. Но достаточно разумным будет оставить таким же, раз оно тоже в кривом, как и максвелл, инвариантно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Прока и его обобщение
Сообщение01.07.2019, 21:45 
Заслуженный участник


25/01/11
394
Урюпинск
Напишу ещё раз более подробно.

Существует соответствие между неприводимыми представлениями группы Пуанкаре и элементарными частицами. Группа Пуанкаре (в 4-х измерениях) имеет два оператора Казимира $P^2$ и $W^2.$ Неприводимые представления характеризуются массой и спином (в безмассовом случае спиральностью). Поэтому если мы хотим, чтобы какое-то поле $\Phi$ имело массу $m$ и спин $s$, то должны выполнятся условия [сигнатура метрики $(-,+,+,+)$] $P^2\Phi=-m^2\Phi,$ $W^2\Phi=-m^2s(s+1)\Phi.$

Теперь берём векторное поле $f^\mu$ и хотим чтобы оно было массивным полем спина 1. Первое условие даёт
$$(\partial^2-m^2)f^\mu=0,\qquad(a)$$
второе
$$\partial_\mu f^\mu=0.\qquad(b)$$ Теперь хотим построить лагранжиан, который приводит к этим уравнениям.

Максимально общий вид (с точностью до интегрирования по частям) квадратичного по $f^\mu$ лагранжиана и имеющего производные не выше второго порядка имеет вид
$$a\partial^\mu f^\nu\partial_\mu f_\nu+b\partial^\mu f^\nu\partial_\nu f_\mu+c f^\mu f_\mu.\qquad(1)$$
Из него получаем уравнение движения
$$a\partial^2f_\mu+b\partial_\mu\partial^\nu f_\nu-cf_\mu=0.\qquad(2)$$
Теперь сворачиваем это уравнение с $\partial^\mu$ и получаем
$$(a+b)\partial^2\partial^\mu f_\mu-c\partial^\mu f_\mu=0.\qquad(3)$$
Чтобы получить условие $\partial_\mu f^\mu=0$ мы должны положить $a+b=0.$ Учитывая это, уравнение (2) примет вид
$$a\partial^2f_\mu-cf_\mu=0.\qquad(4)$$
Чтобы оно совпало с $(\partial^2-m^2)f^\mu=0$ надо положить $c=m^2a.$ С точностью до общего множителя мы нашли лагранжиан
$$a\left\{\partial^\mu f^\nu\partial_\mu f_\nu-\partial^\mu f^\nu\partial_\nu f_\mu+m^2f^\mu f_\mu\right\} \qquad(1^*)$$
Знак $a$ определяется из требования положительной определённости гамильтониана и по модулю $a$ принято выбирать $1/2.$ Если по простому, то это сводится к тому, что первое слагаемое должно входить в лагранжиан в виде $+1/2(\partial_0f_{i_1\ldots{}i_s})^2.$ Окончательный вид лагранжиана для поля спина 1 есть
$$-\frac{1}{2}\left\{\partial^\mu f^\nu\partial_\mu f_\nu-\partial^\mu f^\nu\partial_\nu f_\mu+m^2f^\mu f_\mu\right\} \qquad(\star)$$
Это и есть лагранжиан Прока.

Теперь хотим построить взаимодействие с каким-нибудь полем. Уравнения $(a)$ и $(b)$ как-то модифицируются
$$(\partial^2-m^2)f^\mu=A^\mu\leftarrow\text{слагаемые зависящие (не только) от нового поля},\qquad(a')$$
$$\partial_\mu f^\mu=B\leftarrow\text{слагаемые зависящие (не только) от нового поля}.\qquad(b')$$
Здесь важно, чтобы на поле $f^\mu$ не возникало новых уравнений помимо $(a')$ и $(b')$. Например можно свернуть $(a')$ с $\partial_\mu$ и учесть $(b').$ В итоге получим одно (может быть других и нет) из условий непротиворечивости
$$(\partial^2-m^2)B=\partial_\mu A^\mu.$$
Теперь пишем лагранжиан с произвольными коэффициентами, находим из него уравнения движения и далее находим коэффициенты из условий непротиворечивости.

Насколько я знаю, для спина 1 существует непротиворечивое взаимодействие с э-м и гравитационным полями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Прока и его обобщение
Сообщение01.07.2019, 22:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
espe
Любопытная последовательность, но мне хотелось бы развернуть все в обратную сторону.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Прока и его обобщение
Сообщение01.07.2019, 23:36 
Заслуженный участник


25/01/11
394
Урюпинск
Тогда я не понимаю, что вы хотите. С чего хотите начать и к чему прийти?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Прока и его обобщение
Сообщение02.07.2019, 20:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
Рассмотрим задачу $\delta \int {\sqrt g } \mathscr{L} d^n x = 0$, где $\sqrt g : = \left| {\det \left( {g_{\mu \nu } } \right)} \right|$, $\mathscr{L} =  \pm R + \mathscr{L}_f $, $\mathscr{L}_f  =  - m^2 f_\alpha  f_\alpha   + \kappa _1 f_{\alpha ;\beta } f_{\alpha ;\beta }  + \kappa _2 f_{\alpha ;\beta } f_{\beta ;\alpha }  + \kappa _3 \phi ^2 $ и $\phi : = f_{\alpha ;\alpha } $. Два повторяющихся нижних индекса нужно понимать так: некоторое выражение $F_{\alpha \beta }$ сначала полностью "раскрыли", а потом навесили сверху метрику $g^{\alpha \beta } F_{\alpha \beta } $. Результат такой процедуры обозначен $F_{\alpha \alpha}$. Варьируя, находим уравнение поля
$$m^2 f_\mu   + \kappa _1 f_{\mu ;\alpha \alpha }  + \left( {\kappa _2  + \kappa _3 } \right)\phi _{,\mu }  + \kappa _2 R_{\mu \alpha } f_\alpha   = 0$$и уравнение Эйнштейна
$$\[
\begin{gathered}
   \pm \left( {\frac{1}
{2}Rg_{\mu \nu }  - R_{\mu \nu } } \right) =  - \frac{1}
{2}\mathscr{L}_f g_{\mu \nu }  - m^2 f_\mu  f_\nu   + \kappa _1 \left( {f_{\mu ;\alpha } f_{\nu ;\alpha }  + f_{\alpha ;\mu } f_{\alpha ;\nu } } \right) +  \hfill \\
   + \kappa _2 \left( {f_{\mu ;\alpha } f_{\alpha ;\nu }  + f_{\nu ;\alpha } f_{\alpha ;\mu } } \right) + \kappa _3 \frac{1}
{2}\phi \left( {f_{\mu ;\nu }  + f_{\nu ;\mu } } \right) -  \hfill \\
   - \left( {\kappa _1  + \kappa _2  + \kappa _3 } \right)\left( {f_\mu  \phi _{,\nu }  + f_\nu  \phi _{,\mu } } \right) +  \hfill \\
   + \left( {\kappa _1  + \kappa _2 } \right)\left[ {f_\alpha  \left( {f_{\mu ;\nu \alpha }  + f_{\nu ;\mu \alpha } } \right) - f_\mu  \left( {f_\alpha  R_{\alpha \nu }  + f_{\nu ;\alpha \alpha } } \right) - f_\nu  \left( {f_\alpha  R_{\alpha \mu }  + f_{\mu ;\alpha \alpha } } \right)} \right] +  \hfill \\
   + \kappa _3 f_\alpha  \phi _{,\alpha } g_{\mu \nu }  \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
$$Теперь нужно разобраться с решениями этого крокодила.

Начнем со слабой плоской волны: $g_{\mu \nu }  = \operatorname{diag} \left( {1, - 1, - 1, - 1} \right)$, $x^\mu   = \left( {t,x,y,z} \right)$ и $f_\mu   = f_\mu  \left( {x - at} \right)$. Уравнение поля дает
$$\[
\left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   {m^2 f_0  + \left[ {\kappa _1 \left( {a^2  - 1} \right) + a^2 \left( {\kappa _2  + \kappa _3 } \right)} \right]f_0 ^{\prime \prime }  + a\left( {\kappa _2  + \kappa _3 } \right)f_1 ^{\prime \prime }  = 0}  \\
   {m^2 f_1  + \left[ {\kappa _1 \left( {a^2  - 1} \right) - \left( {\kappa _2  + \kappa _3 } \right)} \right]f_1 ^{\prime \prime }  - a\left( {\kappa _2  + \kappa _3 } \right)f_0 ^{\prime \prime }  = 0}  \\
   {m^2 f_2  + \kappa _1 \left( {a^2  - 1} \right)f_2 ^{\prime \prime }  = 0}  \\
   {m^2 f_3  + \kappa _1 \left( {a^2  - 1} \right)f_3 ^{\prime \prime }  = 0}  \\

 \end{array} } \right.
\]
$$Пусть пока $m \ne 0$. Тогда при $\left| a \right| > 1$ и ${\kappa _1 <0}$ существуют ограниченные ненулевые решения. Сверхсветовых чудес нам не надо, поэтому
$$\kappa _1  \geqslant 0$$Если добавить условие $\kappa _1  + \kappa _2  = 0$, то все уравнения будут однотипными и никаких других ограничений на каппы не возникнет. Поэтому рассмотрим случай $\kappa _1  + \kappa _2  \ne 0$. Тогда уравнения для продольной и временной компонент сведутся к
$$m^4 f_i  +m^2  Af_i ^{\prime \prime }  + Bf_i ^{\prime \prime } ^{\prime \prime }  = 0$$где $i = 1,2$; $A = \left( {a^2  - 1} \right)\left( {2\kappa _1  + \kappa _2  + \kappa _3 } \right)$ и $B = \left( {a^2  - 1} \right)^2 \kappa _1 \left( {\kappa _1  + \kappa _2  + \kappa _3 } \right) - a^2 \left( {\kappa _2  + \kappa _3 } \right)^2 $.

(в этом месте у меня кончился завод)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group