Уравнение Прока и его обобщение

[Утундрий]

Речь пойдет об уравнении для массивного векторного поля $f_\mu$. Лагранжиан, приводящий к сабжу, содержит свертки $f_\mu f^\mu$ и $\left( {f_{\mu ,\nu } - f_{\nu ,\mu } } \right)\left( {f^{\mu ,\nu } - f^{\nu ,\mu } } \right)$. Варьируя, получаем уравнение (Прока), в котором ток пропорционален потенциалу.

Я обратил внимание на весьма специфический вид второй свертки. Такое впечатление, что одним из руководящих принципов было не допустить ни под каким видом появления в лагранжиане символов Кристоффеля, которые могут попортить каноническое выражение для ТЭИ.

А что, если не побояться, да и... рассмотреть всевозможные свертки второй степени: $f_{\mu ;\nu } f^{\mu ,\nu } $, $f_{\mu ;\nu } f^{\nu ,\mu } $ и $\left( {f^\mu _{;\mu } } \right)^2 $ ?

[espe]

Утундрий в сообщении #1402198 писал(а):

Такое впечатление, что одним из руководящих принципов было не допустить ни под каким видом появления в лагранжиане символов Кристоффеля, которые могут попортить каноническое выражение для ТЭИ.

Нет. Руководящий принцип --- это чтобы векторное поле описывало спин 1, а не просто массивное векторное поле.

Утундрий в сообщении #1402198 писал(а):

А что, если не побояться, да и... рассмотреть всевозможные свертки второй степени: $f_{\mu ;\nu } f^{\mu ,\nu } $, $f_{\mu ;\nu } f^{\nu ,\mu } $ и $\left( {f^\mu _{;\mu } } \right)^2 $ ?

Рассмотрите. Если обобщаете на взаимодействие с э-м полем и/или гравитацией, то можно добавить слагаемые с напряжённостью э-м поля и кривизной. С точностью до интегрирования по частям второе и третье слагаемые эквивалентны, если нет взаимодействия.

[Guvertod]

Утундрий
Так это же просто обощение максвелла, оно изначально в плоском ПВ. Если модифицировать для искривленного, то можно по-вяскому добавлять хоть кривизну. Но достаточно разумным будет оставить таким же, раз оно тоже в кривом, как и максвелл, инвариантно.

[espe]

Напишу ещё раз более подробно.

Существует соответствие между неприводимыми представлениями группы Пуанкаре и элементарными частицами. Группа Пуанкаре (в 4-х измерениях) имеет два оператора Казимира $P^2$ и $W^2.$ Неприводимые представления характеризуются массой и спином (в безмассовом случае спиральностью). Поэтому если мы хотим, чтобы какое-то поле $\Phi$ имело массу $m$ и спин $s$, то должны выполнятся условия [сигнатура метрики $(-,+,+,+)$] $P^2\Phi=-m^2\Phi,$ $W^2\Phi=-m^2s(s+1)\Phi.$

Теперь берём векторное поле $f^\mu$ и хотим чтобы оно было массивным полем спина 1. Первое условие даёт

$$(\partial^2-m^2)f^\mu=0,\qquad(a)$$

второе

$$\partial_\mu f^\mu=0.\qquad(b)$$

Теперь хотим построить лагранжиан, который приводит к этим уравнениям.

Максимально общий вид (с точностью до интегрирования по частям) квадратичного по $f^\mu$ лагранжиана и имеющего производные не выше второго порядка имеет вид

$$a\partial^\mu f^\nu\partial_\mu f_\nu+b\partial^\mu f^\nu\partial_\nu f_\mu+c f^\mu f_\mu.\qquad(1)$$

Из него получаем уравнение движения

$$a\partial^2f_\mu+b\partial_\mu\partial^\nu f_\nu-cf_\mu=0.\qquad(2)$$

Теперь сворачиваем это уравнение с $\partial^\mu$ и получаем

$$(a+b)\partial^2\partial^\mu f_\mu-c\partial^\mu f_\mu=0.\qquad(3)$$

Чтобы получить условие $\partial_\mu f^\mu=0$ мы должны положить $a+b=0.$ Учитывая это, уравнение (2) примет вид

$$a\partial^2f_\mu-cf_\mu=0.\qquad(4)$$

Чтобы оно совпало с $(\partial^2-m^2)f^\mu=0$ надо положить $c=m^2a.$ С точностью до общего множителя мы нашли лагранжиан

$$a\left\{\partial^\mu f^\nu\partial_\mu f_\nu-\partial^\mu f^\nu\partial_\nu f_\mu+m^2f^\mu f_\mu\right\} \qquad(1^*)$$

Знак $a$ определяется из требования положительной определённости гамильтониана и по модулю $a$ принято выбирать $1/2.$ Если по простому, то это сводится к тому, что первое слагаемое должно входить в лагранжиан в виде $+1/2(\partial_0f_{i_1\ldots{}i_s})^2.$ Окончательный вид лагранжиана для поля спина 1 есть

$$-\frac{1}{2}\left\{\partial^\mu f^\nu\partial_\mu f_\nu-\partial^\mu f^\nu\partial_\nu f_\mu+m^2f^\mu f_\mu\right\} \qquad(\star)$$

Это и есть лагранжиан Прока.

Теперь хотим построить взаимодействие с каким-нибудь полем. Уравнения $(a)$ и $(b)$ как-то модифицируются

$$(\partial^2-m^2)f^\mu=A^\mu\leftarrow\text{слагаемые зависящие (не только) от нового поля},\qquad(a')$$

$$\partial_\mu f^\mu=B\leftarrow\text{слагаемые зависящие (не только) от нового поля}.\qquad(b')$$

Здесь важно, чтобы на поле $f^\mu$ не возникало новых уравнений помимо $(a')$ и $(b')$. Например можно свернуть $(a')$ с $\partial_\mu$ и учесть $(b').$ В итоге получим одно (может быть других и нет) из условий непротиворечивости

$$(\partial^2-m^2)B=\partial_\mu A^\mu.$$

Теперь пишем лагранжиан с произвольными коэффициентами, находим из него уравнения движения и далее находим коэффициенты из условий непротиворечивости.

Насколько я знаю, для спина 1 существует непротиворечивое взаимодействие с э-м и гравитационным полями.

[Утундрий]

espe
Любопытная последовательность, но мне хотелось бы развернуть все в обратную сторону.

[espe]

Тогда я не понимаю, что вы хотите. С чего хотите начать и к чему прийти?

[Утундрий]

Рассмотрим задачу $\delta \int {\sqrt g } \mathscr{L} d^n x = 0$, где $\sqrt g : = \left| {\det \left( {g_{\mu \nu } } \right)} \right|$, $\mathscr{L} = \pm R + \mathscr{L}_f $, $\mathscr{L}_f = - m^2 f_\alpha f_\alpha + \kappa _1 f_{\alpha ;\beta } f_{\alpha ;\beta } + \kappa _2 f_{\alpha ;\beta } f_{\beta ;\alpha } + \kappa _3 \phi ^2 $ и $\phi : = f_{\alpha ;\alpha } $. Два повторяющихся нижних индекса нужно понимать так: некоторое выражение $F_{\alpha \beta }$ сначала полностью "раскрыли", а потом навесили сверху метрику $g^{\alpha \beta } F_{\alpha \beta } $. Результат такой процедуры обозначен $F_{\alpha \alpha}$. Варьируя, находим уравнение поля

$$m^2 f_\mu + \kappa _1 f_{\mu ;\alpha \alpha } + \left( {\kappa _2 + \kappa _3 } \right)\phi _{,\mu } + \kappa _2 R_{\mu \alpha } f_\alpha = 0$$

и уравнение Эйнштейна

$$\[ \begin{gathered} \pm \left( {\frac{1} {2}Rg_{\mu \nu } - R_{\mu \nu } } \right) = - \frac{1} {2}\mathscr{L}_f g_{\mu \nu } - m^2 f_\mu f_\nu + \kappa _1 \left( {f_{\mu ;\alpha } f_{\nu ;\alpha } + f_{\alpha ;\mu } f_{\alpha ;\nu } } \right) + \hfill \\ + \kappa _2 \left( {f_{\mu ;\alpha } f_{\alpha ;\nu } + f_{\nu ;\alpha } f_{\alpha ;\mu } } \right) + \kappa _3 \frac{1} {2}\phi \left( {f_{\mu ;\nu } + f_{\nu ;\mu } } \right) - \hfill \\ - \left( {\kappa _1 + \kappa _2 + \kappa _3 } \right)\left( {f_\mu \phi _{,\nu } + f_\nu \phi _{,\mu } } \right) + \hfill \\ + \left( {\kappa _1 + \kappa _2 } \right)\left[ {f_\alpha \left( {f_{\mu ;\nu \alpha } + f_{\nu ;\mu \alpha } } \right) - f_\mu \left( {f_\alpha R_{\alpha \nu } + f_{\nu ;\alpha \alpha } } \right) - f_\nu \left( {f_\alpha R_{\alpha \mu } + f_{\mu ;\alpha \alpha } } \right)} \right] + \hfill \\ + \kappa _3 f_\alpha \phi _{,\alpha } g_{\mu \nu } \hfill \\ \end{gathered} \] $$

Теперь нужно разобраться с решениями этого крокодила.

Начнем со слабой плоской волны: $g_{\mu \nu } = \operatorname{diag} \left( {1, - 1, - 1, - 1} \right)$, $x^\mu = \left( {t,x,y,z} \right)$ и $f_\mu = f_\mu \left( {x - at} \right)$. Уравнение поля дает

$$\[ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {m^2 f_0 + \left[ {\kappa _1 \left( {a^2 - 1} \right) + a^2 \left( {\kappa _2 + \kappa _3 } \right)} \right]f_0 ^{\prime \prime } + a\left( {\kappa _2 + \kappa _3 } \right)f_1 ^{\prime \prime } = 0} \\ {m^2 f_1 + \left[ {\kappa _1 \left( {a^2 - 1} \right) - \left( {\kappa _2 + \kappa _3 } \right)} \right]f_1 ^{\prime \prime } - a\left( {\kappa _2 + \kappa _3 } \right)f_0 ^{\prime \prime } = 0} \\ {m^2 f_2 + \kappa _1 \left( {a^2 - 1} \right)f_2 ^{\prime \prime } = 0} \\ {m^2 f_3 + \kappa _1 \left( {a^2 - 1} \right)f_3 ^{\prime \prime } = 0} \\ \end{array} } \right. \] $$

Пусть пока $m \ne 0$. Тогда при $\left| a \right| > 1$ и ${\kappa _1 <0}$ существуют ограниченные ненулевые решения. Сверхсветовых чудес нам не надо, поэтому

$$\kappa _1 \geqslant 0$$

Если добавить условие $\kappa _1 + \kappa _2 = 0$, то все уравнения будут однотипными и никаких других ограничений на каппы не возникнет. Поэтому рассмотрим случай $\kappa _1 + \kappa _2 \ne 0$. Тогда уравнения для продольной и временной компонент сведутся к

$$m^4 f_i +m^2 Af_i ^{\prime \prime } + Bf_i ^{\prime \prime } ^{\prime \prime } = 0$$

где $i = 1,2$; $A = \left( {a^2 - 1} \right)\left( {2\kappa _1 + \kappa _2 + \kappa _3 } \right)$ и $B = \left( {a^2 - 1} \right)^2 \kappa _1 \left( {\kappa _1 + \kappa _2 + \kappa _3 } \right) - a^2 \left( {\kappa _2 + \kappa _3 } \right)^2 $.

(в этом месте у меня кончился завод)