Дифференциальное и интегральное исчисления

[Alexey1]

Скажите все ли правильно в данной задаче.
$f(x)$, $a(x)$ непрерывные функции с непрерывными производными на отрезке $[X_1;X_2]$.
Пусть дана $V_X= \int_{X_1}^{X_2} a(x) dx$ и $V_Y= \int_{X_1}^{X_2} a(x) f'(x) dx$.
Необходимо выразить функцию $V_Y$ как функцию от $V_X$.
Найдём производную $V_Y$ по $a(x)$
$\frac {dV_Y} {da} = \int_{X_1}^{X_2} f'(x) dx = f(X_2)-f(X_1)$
Так как $dV_X = d(\int_{X_1}^{X_2} a(x) dx ) = (X_2-X_1)da$
$\frac {dV_Y} {dV_X} = \frac 1 {X_2-X_1} \frac {dV_Y} {da} = \frac {f(X_2)-f(X_1)} {X_2-X_1}$
Правильно ли будет сказать что решение $V_Y= \frac {f(X_2)-f(X_1)} {X_2-X_1} V_X$
Спасибо

[Henrylee]

Alexey1 писал(а):

Пусть дана $V_X= \int_{X_1}^{X_2} a(x) dx$ и $V_Y= \int_{X_1}^{X_2} a(x) f'(x) dx$.
Необходимо выразить функцию $V_Y$ как функцию от $V_X$.

Это числа, а не функции. Или вы их как функции от $X_1,X_2$ рассматриваете?
PS Это как это Вы так занятно дифференцируете по $a$ , покажите-ка на конкретном примере

[Alexey1]

Функции $V_Y$ и $V_X$ это функции как $X_1$ и $X_2$ так и $a(x)$. Насчёт дифференцирования, то для примера рассмотрите $f'(x)=1$ тогда получаем что $X_2-X_1$.

[zoo]

прикольно

[Alexey1]

Просто функция $a(x)$ используется здесь также как если бы она использовалась в неопределённом интеграле (производная неопределённого интеграла равна этой функции).

[zoo]

еще прикольней

[Really]

То что вы написали неверно. Henrylee вас уже спрашивал как вы так ловко
берете производную по $a(x)$? Дайте определение.

[ewert]

Alexey1 писал(а):

$V_Y= \int_{X_1}^{X_2} a(x) f'(x) dx$.
Необходимо выразить функцию $V_Y$ как функцию от $V_X$.
Найдём производную $V_Y$ по $a(x)$
$\frac {dV_Y} {da} = \int_{X_1}^{X_2} f'(x) dx = f(X_2)-f(X_1)$

Это Вы таким способом пытаетесь изучать вариационное исчисление?

Тогда напрасно. Производная $V_Y$ по $a(x)$ -- это не какое-то число, а линейный функционал по малым сдвигам:

$\delta V_Y = \int_{X_1}^{X_2}\delta a(x)\cdot f'(x) dx.$

И всё, и ничего больше без дополнительной информации не скажешь.

[zoo]

ewert писал(а):

Alexey1 писал(а):

$V_Y= \int_{X_1}^{X_2} a(x) f'(x) dx$.
Необходимо выразить функцию $V_Y$ как функцию от $V_X$.
Найдём производную $V_Y$ по $a(x)$
$\frac {dV_Y} {da} = \int_{X_1}^{X_2} f'(x) dx = f(X_2)-f(X_1)$

Это Вы таким способом пытаетесь изучать вариационное исчисление?

Тогда напрасно. Производная $V_Y$ по $a(x)$ -- это не какое-то число, а линейный функционал по малым сдвигам:

$\delta V_Y = \int_{X_1}^{X_2}\delta a(x)\cdot f'(x) dx.$

И всё, и ничего больше без дополнительной информации не скажешь.

ну и для кого Вы это написали? Если для автора темы, то он в материале средней школы плавает

[Alexey1]

zoo посмотри название форума.
Что касается диффренцирования то тут следующее
$\frac {dV_Y} {da} = lim \frac {\int_{X_1}^{X_2} (a(x)+h)f'(x) dx - \int_{X_1}^{X_2} a(x)f'(x) dx} {h} = \int_{X_1}^{X_2} f'(x) dx$

[zoo]

еще еще прикольней

[Alexey1]

zoo не отвечай больше. Всё что я здесь пишу это не тебе.
Определение производной я написал Henrylee, Really, ewert. Вот они и пусть пишут, они хоть действительно читают.

[zoo]

жжот не по децки

[ewert]

Alexey1 писал(а):

Что касается диффренцирования то тут следующее
$\frac {dV_Y} {da} = lim \frac {\int_{X_1}^{X_2} (a(x)+h)f'(x) dx - \int_{X_1}^{X_2} a(x)f'(x) dx} {h} = \int_{X_1}^{X_2} f'(x) dx$

Я попробую ответить всё же по существу.

Что значит "плюс аш"?

Малая поправка должна быть того же типа, что и основной объект. В данном случае -- к функции следует прибавлять именно бесконечно малую функцию.

Прибавить константу как частный случай тоже, конечно, можно, но будет это случай такой уж частный, что -- никакого проку.

[Alexey1]

Так ведь это определение той производной которую я использую. Посмотрите первое сообщение. Если использовать такую производную, то там действительно получается необходимая производная и затем функция.