Интересное наблюдение о девятеричной системе счисления

[Ktina]

А вам не показалось подозрительным, что все репьюниты в позиционной системе счисления с основанием 9 являются треугольными числами?

Для доказательства этого факта достаточно заметить, что если треугольное число умножить на 9 и прибавить 1, снова получим треугольное число.

Действительно, $\dfrac{n(n+1)}{2}\cdot 9+1=4,5n^2+4,5n+1=\dfrac{(3n+1)(3n+2)}{2}$

Почему так происходит именно в девятеричной системе? Что в ней такого особенного? Почему в других позиционных системах подобное явление не наблюдается?

[gris]

А разве нельзя выразить формулой эти ваши репьи в произвольной системе и произвольной длины?
$111...11_n=1+n+n^2+...+n^{k-1}=\dfrac {n^k-1}{n-1}$ и загнать всё это дело в эксель? Ну если на бумажке, то можно поанализировать. Вдруг чего ещё получится?
Если особенно не ковыряясь написать дискриминант соответствующего квадратного уравнения, то запрашиваемые достоинства числа $9$ очевидны: оно квадратно и уменьшенное на единичку равно $8$. Этого уже достаточно для треугольности всех девятиричных штук.