Найти ковариацию случайных величин

[vicvolf]

Пусть имеется последовательность случайных величин $g_i,(1 \leq i \leq n)$, где $g_i(k)=f(k),(1 \leй k \leq n)$, а $f$ - арифметическая функция, и все значения $g_i(k)$ равновероятны.

Требуется определить ковариацию $cov [g_i,g_j]$.

Решение

Случайная величина $g_i$ принимает значения $f(1),...,f(i)$, притом значения могут повторяться. Поэтому математическое ожидание случайной величины $g_i$ равно:

$M[g_i]=(\sum_{k=1}^i {f(k)})/i$. (1)

Случайная величина $g_j$ принимает значения $f(1),...,f(j)$, притом значения могут повторяться. Поэтому математическое ожидание случайной величины $g_j$ равно:

$M[g_j]=(\sum_{k=1}^j {f(k)})/j$. (2)

Математическое ожидание произведения случайных величин $g_i$,$g_j$ равно:

$M[g_ig_j]=(\sum_{l=1}^i \sum_{m=1}^j {f(l)f(m)})/ij$. (3)

Поэтому ковариация случайных величин $g_i$,$g_j$ равна на основании (1), (2), (3):

$cov [g_i,g_j]= M[g_ig_j]-M[g_i]M[g_j]=(\sum_{l=1}^i \sum_{m=1}^j {f(l)f(m)}-\sum_{k=1}^j {f(k)}\sum_{k=1}^j {f(k)})/ij$. (4)

Учитывая, что $\sum_{l=1}^i \sum_{m=1}^j {f(l)f(m)}=\sum_{k=1}^j {f(k)}\sum_{k=1}^j {f(k)})$, то на основании (4):

$cov [g_,ig_j]=0$, т.е. случайные величины $g_i$,$g_j$ независимы.

Есть ли здесь ошибка?

[Евгений Машеров]

Есть, конечно. Из некоррелированности независимость не следует.



И вообще что-то не пойму...

vicvolf в сообщении #1400859 писал(а):

$g_i(k)=f(k),(1 \leй k \leq n)$

То есть от i не зависит?

vicvolf в сообщении #1400859 писал(а):

$M[g_i]=(\sum_{k=1}^i {f(k)})/i$. (1)

Почему сумма до i?

[vicvolf]

Евгений Машеров в сообщении #1400870 писал(а):

Есть, конечно. Из некоррелированности независимость не следует.

Согласен.

Цитата:

И вообще что-то не пойму...

vicvolf в сообщении #1400859 писал(а):

$g_i(k)=f(k),(1 \leй k \leq n)$

То есть от i не зависит?

Здесь описка - $g_i(k)=f(k),(1 \leй k \leq i)$

[ewert]

vicvolf в сообщении #1400859 писал(а):

Пусть имеется последовательность случайных величин $g_i,(1 \leq i \leq n)$, где $g_i(k)=f(k),(1 \leй k \leq n)$

Это -- не случайные величины. СВ так не описываются.

vicvolf в сообщении #1400859 писал(а):

а $f$ - арифметическая функция

Арифметических функций не бывает.

[Евгений Машеров]

ewert в сообщении #1400882 писал(а):

Арифметических функций не бывает.

Ну отчего же? Функция, определённая на множестве натуральных чисел.

[ewert]

Евгений Машеров в сообщении #1400885 писал(а):

Ну отчего же? Функция, определённая на множестве натуральных чисел.

Т.е. никакая. Нет, не бывает.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1400859 писал(а):

Арифметических функций не бывает.

https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic_function

[Someone]

vicvolf в сообщении #1400876 писал(а):

$g_i(k)=f(k),(1 \leй k \leq i)$

То есть, ваши "случайные" величины определены на разных вероятностных пространствах? Тогда их ковариацию определить невозможно.

Евгений Машеров в сообщении #1400870 писал(а):

Почему сумма до i?

Очевидно, потому, что $i$-я случайная величина определена на вероятностном пространстве, содержащем $i$ различных равновероятных элементарных исходов.

[vicvolf]

Someone в сообщении #1400896 писал(а):

vicvolf в сообщении #1400876 писал(а):

$g_i(k)=f(k),(1 \leй k \leq i)$

То есть, ваши "случайные" величины определены на разных вероятностных пространствах?

Я ждал этого вопроса. Нет, на одном вероятностном пространстве. Я просто говорю, что значение случайной величины равно значению арифметической функции. Я здесь не определяю арифметическую функцию (как последовательность случайных величин, находящихся в разных вероятностных пространствах).

[ewert]

vicvolf в сообщении #1400897 писал(а):

Я просто говорю, что значение случайной величины равно значению арифметической функции.

Это бессмысленно. Прежде чем говорить о случайной величине -- следует определить, как она задана. Ваша же формулировка сводится к следующему: "предположим, она как-то задана; что из этого следует?"...

Естественно, ничего.

В утешение Вам могу сказать, что Вы не уникальны. Многие студенты произносят формальные заклинания, даже не задумываясь, имеют ли те заклинания хоть какой-то формальный смысл. Они просто тупо зубрят эти заклинания как стихи.

[Someone]

vicvolf в сообщении #1400897 писал(а):

Я ждал этого вопроса. Нет, на одном вероятностном пространстве.

На каком "на одном"? Если Вы задаёте конкретные случайные величины, то должно быть указано и вероятностное пространство. С соответствующей вероятностной мерой. Если Вы задаёте случайные величины так, как в этой теме, то их ковариацию посчитать невозможно. И всё это выглядит как очередная порция бессмысленной ерунды.

[Евгений Машеров]

ewert в сообщении #1400886 писал(а):

Т.е. никакая. Нет, не бывает.

Где-то заплакали Эйлер, Мёбиус, фон Мангольдт и многие другие...

-- 23 июн 2019, 09:09 --

Попробую переформулировать.
Случайная величина g принимает значения, равные $f(1), f(2), f(3)...f(n)$, причём при i-том испытании равновероятны $f(1)...f(i)$, а $f(j), j>i$ не могут встретиться.
Найти ковариацию $g_i$ и $g_j$, где i,j - номера испытаний.
Однако тут существенно, являются ли эти испытания независимыми. Одной равновероятности мало.
Если постулируется независимость - ответ тривиален, ковариация=0.
Если независимости нет, вполне возможна ненулевая ковариация при равновероятности исходов.
Пример: в $(m+1)$ испытании случайная величина $g_{m+1}$ с вероятностью $\frac m {m+1}$ равна предшествующей $g_{m+1}=g_m$, а с вероятностью $\frac 1 {m+1}$ будет $g_{m+1}=f(m+1)$
Равновероятность проверить легко, вычислить ковариацию чуть сложнее. Но что она не обязана быть 0 - очевидно.

-- 23 июн 2019, 09:10 --

Someone в сообщении #1400896 писал(а):

Очевидно, потому, что $i$-я случайная величина определена на вероятностном пространстве, содержащем $i$ различных равновероятных элементарных исходов.

Это противоречит определению в первой строке, это и смущает...
Впрочем, позже ТС пояснил, что это была описка.

[Someone]

Евгений Машеров в сообщении #1400925 писал(а):

Это противоречит определению в первой строке, это и смущает...
Впрочем, позже ТС пояснил, что это была описка.

Ну да, в определении у него была описка. Было

vicvolf в сообщении #1400859 писал(а):

последовательность случайных величин $g_i,(1 \leq i \leq n)$, где $g_i(k)=f(k),(1 \leй k \leq n),$

а теперь $1\leq k\leq i$. А поскольку, судя по формулам

vicvolf в сообщении #1400859 писал(а):

$M[g_i]=(\sum_{k=1}^i {f(k)})/i$. (1)
…
$M[g_j]=(\sum_{k=1}^j {f(k)})/j$. (2)

(функция $f$ одна и та же для всех случайных величин $g_i$), вероятность значения $f(k)$, где $1\leqslant k\leqslant\min\{i,j\}$, для одной случайной величины равна $\frac 1i$, а для другой — $\frac 1j$, и, разумеется, $j\neq i$, приходится сделать вывод, что эти случайные величины определены на разных вероятностных пространствах.
Поэтому получаем очередную белиберду.

[Евгений Машеров]

Въ родѣ примѣра:
(для описанной выше схемы получения равновероятных, но зависимых случайных величин)
Пусть $f(k)$ при чётных k равно 1, при нечётных -1.
Тогда для большого n матожидание среднего будет стремиться к нулю, и ковариация будет приблизительно равна матожиданию произведений. Но для достаточно больших номеров вероятность "переключения" стремится к нулю, и последовательность случайных значений будет состоять из очень длинных цепочек единиц или минус единиц, и ковариация соседних отсчётов будет стремиться к единице.

[vicvolf]

Someone в сообщении #1400903 писал(а):

Если Вы задаёте конкретные случайные величины, то должно быть указано и вероятностное пространство. С соответствующей вероятностной мерой.

Когда экспериментатор имеет дело со случайными величинами, то основной вопрос, который его интересует, - это вопрос с какими вероятностями эта случайная величина принимает те или иные значения. С этой точки зрения интерес представляет не распределение вероятностей $P$ на $(\Omega,A)$, а распределение вероятностей на множестве значений случайной величины. (cтр. 44 А.Н. Ширяев, Вероятность).
Действительно для того, чтобы определить характеристики дискретной случайной величины, например математическое ожидание, нужно знать только значения случайной величины и вероятности этих значений, т.е. распределения вероятностей на множестве значений случайной величины. Задавать вероятностное пространство для определения характеристик случайной величины не требуется.

Евгений Машеров в сообщении #1400925 писал(а):

Однако тут существенно, являются ли эти испытания независимыми. Одной равновероятности мало.

Именно так. Пусть имеются две дискретные случайные величины со своими значениями $x(x_1,..,x_n),y(y_1,...,y_n)$ и вероятностью произведения событий, что случайные величины равны соответственно $x_i,y_j$ - $P(x_i \cap y_j)$, тогда ковариация этих случайных величин равна: $cov[x,y]=M[xy]-M[x]M[y]$, где $M[xy]=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n{x_iy_jP(x_i \cap y_j)}$. В нашем случае $P(x_i)=1/i,P(y_j)=1/j$. Значение $P(x_i \cap y_j)}=P(x_i)P(y_j)=1/ij$, если случайные величины независимы. В общем случае это не так.