Кардинальные числа

[project15]

Возникла путаница с кардинальными числами. Заранее благодарю за помощь.


Говорят, что множество $X$ равномощно множеству $Y$, если существует биективное отображение $X$ на $Y$. Отношение равномощности задано на совокупности всех множеств и является отношением эквивалентности, а значит производит разбиение совокупности всех множеств на классы эквивалентных между собой множеств. Эти классы эквивалентности называются кардинальными числами множеств.

1. Верно ли я понимаю, что множество кардинальных чисел - это фактормножество на совокупности всех множеств по отношению равномощности?


Далее скриншоты из Зорича.




У меня возникли трудности с отношением $Card(X) \leqslant Card(Y)$. Я понимаю это отношение в том смысле, что это некое отношение линейного порядка, заданное на совокупности всех множеств. Иными словами, множество $X$ находится в этом отношении с множеством $Y$, если существует инъекция $X$ в $Y$. Я понял это отношение, как "ослабленное" отношение равномощности: отношение равномощности требует существование биекции, а это отношение требует лишь существование инъекции множества $X$ в множество $Y$. Но тогда я не понимаю смысл фразы "таким образом, класс кардинальных чисел оказывается линейно упорядоченным". Раз это отношение $Card(X) \leqslant Card(Y)$ задано на совокупности всех множеств, то линейно упорядоченным должна быть именно эта совокупность всех множеств, а не фактормножество на совокупности всех множеств по отношению равномощности. В связи с этим вопрос:

2. На каком множестве задано это отношение линейного порядка?

[iifat]

Ну, в сущности, неважно же. Можете и сами попробовать доказать: если множество равномощно подмножеству другого, то эти два множества можно заменить на любые два представителя соответствующих классов.

[arseniiv]

project15 в сообщении #1399810 писал(а):

1. Верно ли я понимаю, что множество кардинальных чисел - это фактормножество на совокупности всех множеств по отношению равномощности?

Тут как раз проблема: в множество они не влезают, да и сами множествами быть не могут. Потому неформально это может и можно считать этаким «фактормножеством», но на деле выбирают из каждого класса эквивалентности по представителю и говорят, что это класс (в теоретико-множественном смысле, не в смысле разбиений и эквивалентностей).

Отношение же сравнимости мощностей явно в тексте определено для кардиналов. Для входящих в них множеств это не будет отношением порядка (а только предпорядка), потому что $|X|\leqslant|Y|\wedge|Y|\leqslant|X|$ влечёт не $X = Y$, а лишь равномощность $X, Y$.

[george66]

Для отношения порядка есть такая аксиома: если $x\leqslant y$ и $y\leqslant x$ то $x=y$. На совокупности всех множеств это неверно -- множества могут вкладываться друг в друга (если они равномощны), но не быть равны. Поэтому надо факторизовать (по отношению равномощности) и тогда получается настоящий порядок.

[arseniiv]

…и факторизация по равномощности и даёт из предпорядка на множествах порядок на кардиналах (как и всегда с предпорядком $\prec$ и эквивалентностью $(\prec)\cap(\succ)$).

[Connector]

(Оффтоп)

Кстати, «ослабить» определение равномощности можно и по-другому (но эквивалентно): потребовать существование сюръекции $Y$ на $X$.

[Someone]

project15 в сообщении #1399810 писал(а):

Верно ли я понимаю, что множество кардинальных чисел - это фактормножество

Нет, неверно. Совокупность всех множеств сама множеством не является. Совокупность всех кардинальных чисел тоже множеством не является.
Здесь вообще нужно соблюдать большую аккуратность, иначе запросто можно нарваться на противоречия.

project15 в сообщении #1399810 писал(а):

На каком множестве задано это отношение линейного порядка?

Ни на каком, поскольку совокупность всех кардиналов не является множеством. Зорич не случайно употребляет термин "класс" вместо термина "множество".

Connector в сообщении #1399842 писал(а):

Кстати, «ослабить» определение равномощности можно и по-другому (но эквивалентно): потребовать существование сюръекции $Y$ на $X$.

Без аксиомы выбора это неверно.

[Connector]

Someone в сообщении #1399851 писал(а):

Без аксиомы выбора это неверно.

Согласен, в доказательстве опирался именно на аксиому выбора.