Некоммутативный Евклид

[Утундрий]

Существуют ли некоммутативные обобщения конечномерных евклидовых пространств? ($C^*$-алгебры не предлагать)

[pogulyat_vyshel]

в определение евклидова пространства входят несколько бинарных операций. по какой именно желаете обнекомутативиться?

[Munin]

Под некоммутативной геометрией, как я сумел понять, подразумевают такую вещь:
1. Начинают с обычной геометрии.
2. Строят по ней алгебраическую геометрию - то есть задают разные подмножества разными уравнениями, в конечном счёте многочленами.
3. Делают некоммутативными эти многочлены.
4. Совершают обратную операцию восстановления геометрии по структуре многочленов, описывающих её алгебраическую геометрию.

[Утундрий]

pogulyat_vyshel
По скалярному произведению.
Munin
Пункт 4 вызывает у меня затруднения.

[Munin]

У меня тоже. Здесь под пространством могут понимать что-то сильно непохожее на привычное. Мне сильно не хватает подготовки.

[arseniiv]

Утундрий в сообщении #1399632 писал(а):

По скалярному произведению.

У, так это же другая штука выходит, чем некоммутативная геометрия. Например пространство с симплектической формой будет частным случаем.

[Утундрий]

arseniiv в сообщении #1399639 писал(а):

Например пространство с симплектической формой будет частным случаем.

Или с произвольной несимметричной матрицей в качестве метрики. В таком направлении я и размышлял. А ещё?

[arseniiv]

А куда ещё, если вы сразу перешли к произвольной матр… билинейной форме. Если дальше обобщать, то куда-то в другую сторону. (Вот помните, я предлагал взять вместо билинейной формы билинейное отображение в некоторое одномерное линейное пространство, не являющееся полем скаляров? Это наверно не то, но больше ничего в голову не приходит.)

-- Пн июн 17, 2019 18:07:53 --

Ну если сменить оперу, можно попробовать взять некоммутативные скаляры. Это уже кто-нибудь точно рассматривал, но теория наверно выходит даже хуже (если считать простоту конечномерного линала чем-то хорошим), чем модулей над кольцом. Но наверно это не та некоммутативность.

[Someone]

Могу предложить, например, статью А. Г. Сергеева "Некоммутативная геометрия и анализ". Там, наверное, можно найти другие ссылки.

[scwec]

Или такая книга. Купершмидт Б.А. "КП или мКП. Некоммутативная математика лагранжевых, гамильтоновых и интегрируемых систем" 2002г., всего 612 стр.
Свободно есть в сети. Возможно, в ней найдется что-то для Вас.